El realismo matemático de Gödel (y una ayuda de Zubiri)

Finalizamos el anterior post dedicado a unas reflexiones filosóficas sobre el teorema de Gödel, comentando su posición en la perenne discusión —pero no por ello poco interesante— sobre el carácter real o imaginario de las entidades matemáticas. No es infrecuente encontrarse con intérpretes de su pensamiento que lo sitúan cómodo en posturas platónicas. Ciertamente, así parece desprenderse de algunos de sus textos. Pero —como apunta Díaz— cuando se atiende su obra en conjunto, se puede realizar una lectura diversa. Como ya anunciaba, en este post y en los sucesivos voy a tratar de dar razón de la postura de Gödel apoyándome en el pensamiento de Zubiri: el planteamiento zubiriano puede ser de ayuda, en tanto que puede dotar de rigor filosófico a las ideas poco elaboradas especulativamente de Gödel.

En la década de los 30, la concepción matemática imperante era la del círculo de Viena (Carnap, Han, Schlick), de carácter eminentemente formal, nada que ver con el intuicionismo al estilo de Brouwer o de Poincaré. Al igual que Brouwer, aunque siguiendo una línea diversa, Gödel tampoco simpatizaba con esta concepción tan formal de las matemáticas, según la cual los matemáticos parecían meros prestidigitadores que jugaban con elementos imaginarios, pero sin ningún tipo de vinculación con la existencia de las cosas. En uno de sus textos llega a decir: «Las ciencias formales no versan sobre objeto alguno; consisten en sistemas de enunciados auxiliares sin objeto ni contenido», dice Díaz. Lo cierto es que, en fidelidad al espíritu de Viena, las ciencias formales y empíricas estaban vinculadas, de modo que las fórmulas verdaderas (aunque su verdad fuera establecida prioritariamente por coherencia interna según las reglas sintácticas) poseían (o podían poseer) un correlato con las cosas. Independientemente de que este correlato de la matemática formal con el comportamiento de las cosas era un presupuesto nunca argumentado adecuadamente, el caso es que el principal problema para ellos, en el ámbito que nos importa, era, pues, el de la consistencia interna del sistema. Pues bien, para Gödel este salto entre la coherencia interna de una fórmula respetando las reglas sintácticas y su correlato con la realidad era problemático, siendo necesario pensar la relación existente entre lo formal y lo físico.

De alguna manera, veía cierta similitud entre la verdad formal y la física, en el sentido de que en ambos casos se estaba ante hechos sólidos, es decir, ante hechos que no podían ser manejados arbitrariamente: del mismo modo que el físico no podía manejar a su antojo sus objetos de investigación, tampoco el matemático podía hacerlo. Buena muestra de ello era precisamente el resultado de su famoso teorema, según el cual hay verdades indecidibles en un marco axiomático: un buen ejemplo de que las matemáticas podían dar más de sí de lo que inicialmente había previsto el formalista, que para nada deseaba ni se esperaba algo así. Sin embargo, aunque había cierta similitud entre ambos tipos de verdades, Gödel no los identificó; su problema es que no tenía herramientas teóricas suficientes para poder hilvanar convincentemente su argumentación.

Gödel entiende que la verdad matemática no es puramente formal, sino que posee un cierto carácter real, un momento de realidad en virtud del cual podía vincularse con las cosas, ámbito en el que se da de modo natural la verdad física. Este carácter real de la verdad matemática lo relaciona con esa solidez, es decir, con esa independencia que poseen en tanto que hechos sólidos los entes matemáticos frente a un ejercicio arbitrario; en este sentido piensa que, efectivamente, los entes matemáticos poseían objetividad, independientes de nuestra imaginación creativa abandonada a sí misma y de ser manejados según nuestras decisiones, del mismo modo que acontece con los entes físicos. Pero, no los equipara del todo: la verdad matemática no es igual del todo que la verdad física, aunque es consciente de que «algo en ellos, existe objetiva e independientemente de nuestros actos mentales y decisiones». El problema es qué es ese algo, y para aclararlo nos puede ayudar nuestro querido Zubiri.

Zubiri coincide con Gödel en esta idea, no sólo por el propio ejercicio de las matemáticas, sino también como consecuencia de su teorema de incompletitud; de hecho, afirma que de él —del teorema de Gödel— se sigue «la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la matemática». Si lo postulado matemáticamente puede ser verdadero, es porque primariamente le compete su carácter de realidad; en caso contrario, ¿a santo de qué? Ciertamente, para no pocos autores no deja de ser un enigma esta vinculación entre matemáticas y realidad, como, por ejemplo, para E. P. Wigner, quien en su The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences de 1960, afirmó: «La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso y no existe una explicación racional para ello. No es nada natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de la idoneidad del lenguaje matemático para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no entendemos ni merecemos». Pues bien, podemos afirmar que es gracias a ese carácter objetivo (según Gödel), a ese carácter de realidad (según Zubiri), que se puede salvar el abismo entre lo lógico y lo real, que es precisamente donde cabe situar el problema de la verdad. Ello nos lleva a una conclusión interesante, y densa, que iremos desgranando poco a poco: «El objeto matemático es realidad construida ‘según conceptos’ dentro del momento ‘físico’ de la formalidad de realidad sentida. Puede tener propiedades ‘suyas’, ‘propias’, dadas y no concebidas». Para comprender esto bien es preciso tener clara la diferencia zubiriana entre contenido (talitativo) y formalidad, entre cosas reales y el carácter (formal) de realidad que tienen, asunto en el que no me puedo detener aquí ahora, independientemente de que alguna alusión haremos. La libre construcción (matemática) no es independiente a la fuerza de imposición de la realidad; esta fuerza de imposición se nos impone tanto al percibir entes físicos como al postular entes matemáticos.

Para él, el hecho de que las propiedades de un conjunto no puedan deducirse en su totalidad de los axiomas, es la más clara muestra de que la construcción matemática se incardina en la más amplia construcción de realidad, a la cual pertenece y que le engloba: es precisamente por este carácter real que los conjuntos son más de lo que pueda deducirse de los postulados previos. Con esto tiene que ver la noergia de la inteligencia sentiente. Es éste precisamente el puente que trata de encontrar Gödel, y que Zubiri lo tiende en bandeja de plata. La inteligencia para Zubiri no es abstracta, lógica, teórica, ‘concipiente’ dirá él, sino física, real, ‘sentiente’; diferencia que parece una sutileza, pero que conforme se profundiza en ella deja entrever una novedosa comprensión no sólo de este asunto, sino de la metafísica en general. Gracias a este giro se puede ver que lo construido por postulación tiene más propiedades que las que cabría deducir axiomáticamente de los postulados, porque la postulación matemática no es algo primario, no se basta a sí misma, sino que necesariamente es postulación ‘de’ realidad y ‘desde’ la realidad.