Aritmetización de enunciados meta-matemáticos

Con la aritmetización del sistema del cálculo formal (que vimos en este post) no hemos hecho sino seguir el primer paso de Gödel. El segundo paso tiene que ver con lo que reza el título de este post. Sabemos que, de cada sistema de cálculo, se pueden realizar enunciados meta-matemáticos (tal y como hacía Richard, aunque él no lo hiciera de modo adecuado). Pues bien, algo así fue lo que Gödel trató de hacer: un mapeo de enunciados meta-matemáticos, en definitiva. Su idea de partida fue que «todos los enunciados meta-matemáticos acerca de las propiedades estructurales de expresiones dentro del cálculo pueden reflejarse adecuadamente dentro del cálculo mismo». Es decir: probar el conjunto de todos los enunciados meta-matemáticos puede definirse empleando únicamente las propiedades del sistema aritmético definido.

¿Cuál fue su modo de razonar, para no caer en el mismo error que Richard? Básicamente se puede explicar así. Si se ha conseguido asociar un determinado número a cualquier expresión en el seno de un sistema de cálculo, análogamente se podrá asociar también un determinado número a todo enunciado meta-matemático asociado a la expresión de dichas relaciones; es decir, cualquier expresión meta-matemática acerca de las relaciones entre los elementos del sistema, puede construirse como una expresión acerca de los números de Gödel correspondientes, así como de sus relaciones, mediante elementos del propio sistema. ¿Cuál sería la diferencia con Richard? Pues que estos enunciados meta-matemáticos estarían íntimamente vinculados a la ‘naturaleza’ (podemos decir) del mismo sistema formal (cosa que no ocurrió en el planteamiento de aquél, cuyos enunciados eran extra-matemáticos, o ajenos a la ‘naturaleza’ del sistema formal al que hacían referencia).

Según esto, los enunciados meta-matemáticos quedarían también aritmetizados. Si lo he entendido bien, lo que quiere hacer Gödel es lo siguiente. Decimos una expresión meta-matemática sobre las relaciones formales. Dicha expresión, se refiere, efectivamente, a elementos del sistema formal y sus relaciones, a cada uno de los cuales le corresponde un número de Gödel. Pues bien, dicho enunciado meta-matemático se puede expresar también mediante números de Gödel, de modo que a cada enunciado le corresponderá su número de Gödel. Así, todo enunciado meta-matemático tendrá su correspondiente número de Gödel y, lo que es más interesante, entrará a formar parte del sistema formal que se había definido. Al formalizar los enunciados meta-matemáticos, éstos pasan a formar parte del propio sistema formal. Es un mapeo de los enunciados meta-matemáticos sobre un sistema formal, en el propio sistema formal.

Un ejemplo de mapeo que nos puede servir para comprender esto, y toda la información meta-matemática que implica, y que nos explican Nagel y Newman, es el de los números que nos son asignados cuando estamos a la espera de que nos atiendan en el supermercado . Si yo tengo el número 42, y otra persona el 35, no hace falta que el dependiente nos diga nada: sabemos que, en principio, por lo menos han ido a comprar 42 personas, y que la otra persona va antes que yo, etc. Mi situación en la cola, y todo lo que ello conlleva, queda expresado en un simple número. Del mismo modo, cada enunciado meta-matemático sobre el sistema formal, queda ‘resumido’ en una cifra; y esa cifra, siguiendo el camino inverso, nos lleva a ese, y sólo a ese, enunciado meta-matemático. De este modo, las relaciones de dependencia lógica que podamos establecer entre dichos enunciados, quedarán perfectamente reflejados en las relaciones de dependencia entre sus expresiones meta-matemáticas correspondientes.

Supongamos una expresión ‘a’, la que sea, que tendrá un número de Gödel. Supongamos otra ‘b’, que está contenida en aquella; es decir, que es una parte de aquélla, y que tendrá por su parte otro número de Gödel. La relación que hay entre ambas expresiones es que ‘una está contenida en la otra’, es decir, que la fórmula menor está contenida en la fórmula mayor. Si esto es así, se observa fácilmente que el número de Gödel de la pequeña será un factor del número de Gödel de la grande. Pues bien, siguiendo este esquema, la relación entre ambas también se podría axiomatizar, y calcular su número de Gödel correspondiente; si el enunciado meta-matemático es que la expresión pequeña está contenida en la grande, o que es un factor de la grande, se podría aritmetizar la expresión ‘ser factor de’, de modo que el enunciado meta-matemático expresado más arriba quedaría como ‘b es un factor de a’. Un caso real podría ser el siguiente. Supongamos un axioma (a), que diría (pVp)⸧p’; consideremos la expresión (b) (pVp), la cual se comprueba que es una parte del primer axioma. Pues bien, el enunciado meta-matemático quedaría así: (pVp) es una parte de (pVp)⸧p’. Tendríamos así como una función de dos variables, como lo que tradicionalmente conocemos como f(x,y) que, en este caso, quedaría expresada en el caso de las expresiones a y b. A la función general ‘y está dentro de x’, le aplicamos los valores concretos a y b, y quedaría f(a,b), es decir: ‘b está dentro de a’.

Con esto se consigue algo interesante, a saber: que, una vez mapeados los enunciados meta-matemáticos, gracias a las relaciones de dependencia entre los elementos del sistema formal, podemos, a su vez, investigar sobre las relaciones de dependencia que se puedan establecer entre los enunciados meta-matemáticos. La estructura del sistema formal, nos ayuda a investigar la estructura de las relaciones meta-matemáticas. Y digo ayuda, porque entiendo que esto no es sino un enfoque más determinado por la perspectiva lógico-formal; pero no será el único, atendiendo a otras ‘lógicas’.

Y, todo esto, ¿para qué? A mi modesto entender, lo que pretende Gödel es realizar una afirmación meta-matemática que, una vez ‘mapeada’, es decir, una vez aritmetizada o transformada al lenguaje aritmético en cuestión, demostrar que no puede ser obtenida por la derivación lógica inherente a dicho sistema aritmético. Recordemos que ya vimos que, cuando en un sistema todas sus verdades pueden ser deducidas de los axiomas, dicho sistema no es consistente. Entonces, si queda de manifiesto que existe una afirmación que no es demostrable lógicamente, queda de manifiesto también que el sistema axiomático en cuestión es consistente, ya que no pueden derivarse en él todas las verdades pertenecientes a su ámbito.

El principio de la historia efectual

Como continuación de la problemática asociada a la distancia en el tiempo (que veíamos en este post), llegamos a una de las categorías clave de la hermenéutica gadameriana: la historia efectual. ¿Qué significa esta categoría? Lo que nos quiere poner de manifiesto Gadamer es que el ‘efecto’ que tiene la historia en nosotros no sólo se da en el nivel lingüístico o literario, sino también en el pre-lingüístico; a ello apunta, como veremos, cuando hable por ejemplo del peso de la tradición, el cual se ve no tanto en aquello de lo que somos conscientes como en aquello de lo que a menudo no lo somos y nos cuesta traer a la consciencia. En el proceso comunicativo, tan importante es lo que se dice como lo que no se dice; y esto es válido tanto a nivel individual como social o histórico; consecuencia de lo cual es, por otra parte, el tránsito contemporáneo del mero discurso a la ‘acción comunicativa’ más amplia, a los actos del habla en lo que se consideran elementos más allá de los lingüísticos. Es, en definitiva, el diálogo entre razón pura y facticidad, y todo lo que ello conlleva.

Cuando uno posee un interés histórico por algo, ese interés no se apoya únicamente en el deseo de conocerlo, sino también en sus posibles efectos en la historia (en nuestra historia). Esta es una idea que nos puede ser más o menos común. Lo que ya no es tan común es la consideración hermenéutica de este planteamiento. La historia efectual es algo en lo que necesariamente nos encontramos, no podemos evadirnos de ella, emprendamos o no una tarea hermenéutica; y si la emprendemos, debemos hacerlo desde la consciencia de que nos encontramos en el ámbito de la historia efectual: «Ella es la que determina por adelantado lo que nos va a parecer cuestionable y objeto de investigación, y normalmente olvidamos la mitad de lo que es real, más aún, olvidamos toda la verdad de este fenómeno cada vez que tomamos el fenómeno inmediato como toda la verdad». Este es el error del objetivismo histórico, el cual rehúye por desconocimiento dicha situación de partida; pero el caso es que no por desconocimiento deja de ejercer su poder.

La implicación directa de la historia efectual no es tanto que se cree una disciplina nueva que realice mejor la tarea hermenéutica como el hecho de ser una herramienta a cuya luz se realice y se comprenda mejor la tarea hermenéutica. Ya que su influencia se ejerce siempre, se sea consciente de ella o no; y no únicamente en la disciplina histórica, sino también en otros ámbitos del conocimiento humano, como la investigación científica por ejemplo (tal y como se ha puesto de manifiesto desde la filosofía de la ciencia). También en la propia vida.

Es una utopía pensar que desde nuestra situación lo vemos todo claro. Todo lo contrario. El contexto histórico es precisamente condición de posibilidad de la existencia de una situación desde la que se puede ver, situación necesariamente contextualizada, contextualización que necesariamente se convierte en un horizonte. Cada situación proporciona un determinado horizonte de visión (de comprensión), un horizonte que si bien nos contextualiza (en él) a la vez nos permite ir más allá de nosotros mismos en tanto que nos ofrece un abanico de posibilidades ajenas a las que nosotros nos podamos dar a nosotros mismos.

«El que no tiene horizontes es un hombre que no ve suficiente y que en consecuencia supervalora lo que le cae más cerca. En cambio, tener horizontes significa no estar limitado a lo más cercano sino poder ver por encima de ello».

Es tarea de la hermenéutica, entonces, hacerse con el horizonte adecuado para poder realizar la tarea comprensiva del legado histórico. Un horizonte que históricamente se encuentra ligado al legado de la tradición, y que presenta una conexión con el horizonte de ésta. No se trata desde ‘mi’ horizonte conocer ‘aquel’ horizonte, sino de ‘saber’ que mi horizonte no es sino la continuidad de aquél. Ahora bien, podríamos preguntarnos si nuestro horizonte es ciertamente ‘otro’ respecto a aquel en que quiere situarse. «¿Existen realmente dos horizontes distintos, aquél en el que vive el que comprende y el horizonte histórico al que éste pretende desplazarse?». Igual que una persona no es únicamente una persona aislada, sino que siempre está en comunicación con otros, hablar de un horizonte propio desligado de cualquier otro horizonte es una abstracción: no hay horizontes totalmente cerrados. Nos movemos en nuestro horizonte, y a la vez nuestro horizonte se mueve con nosotros: el horizonte se desplaza como si estuviera encabalgado sobre las crestas de las olas.

En este sentido se puede afirmar la existencia de un gran horizonte que envuelve todos los horizontes localizados y concretos, más allá del nuestro actual. Si esto es así, desplazarnos de nuestro horizonte al del texto no supone sino ser capaz de tomar distancia de nuestro propio horizonte, de elevarnos hasta ese gran horizonte que se da históricamente encabalgándose en las distintas culturas y sociedades, y que nos posibilita esa panorámica más amplia que, sin desatender lo propio, nos permite atender lo lejano y distante porque nos movemos en un mismo horizonte de comprensión. «Ganar un horizonte quiere decir siempre aprender a ver más allá de lo cercano y de lo muy cercano, no desatenderlo, sino precisamente verlo mejor integrándolo en un todo más grande y en patrones más correctos». Ello sin desatender nuestro contexto inmediato, pues es esa atención adecuada a nuestro entorno inmediato lo que nos permite poder elevarnos al horizonte amplio de comprensión, al cual se pertenece.

Un esfuerzo dialógico intenso pero fecundo, que posee dos importantes consecuencias. La primera y la más evidente, que gracias al trabajo de alteridad podemos leer el pasado no desde nuestras expectativas de sentido, sino desde sí mismo (siempre en la medida de nuestras posibilidades). Y la segunda y menos evidente, que a causa de este diálogo vamos autocorrigiendo continuamente nuestros prejuicios hermenéuticos, modificando a su vez nuestro propio horizonte de comprensión, acercándonos al horizonte comprensivo histórico general: «En realidad el horizonte del presente está en un proceso de constante formación en la medida en que estamos obligados a poner a prueba constantemente todos nuestros prejuicios». Más que hablar de distintos horizontes, quizá habría que hablar de un único horizonte que posee ciertas agudizaciones modales según las connotaciones culturales y sociales de cada época. De este modo, la tensión entre el presente y la época del texto se aliviaría y encontraría cauces más fluidos, sin pretender con ello ni mucho menos caer en una homogeneidad anquilosada. La tensión existe, y no puede no existir; pero la consciencia de la existencia de dicha tensión contribuye a la superación de los propios prejuicios (que nos distancia ilegítimamente de ella). «En la realización de la comprensión tiene lugar una verdadera fusión horizóntica que con el proyecto del horizonte histórico lleva a cabo simultáneamente su superación». Para hacer auténticamente dicha fusión es preciso hacerlo desde la conciencia histórico-efectual. Una tarea que a su vez debe realizarse de modo crítico: si bien la hermenéutica es una crítica al conocimiento, la propia tarea hermenéutica debe realizarse a su vez críticamente para no desviarse del objetivo pretendido; la misma hermenéutica ha de ser crítica, empresa que han acometido no pocos autores contemporáneos (Apel y Habermas, Taylor,  Ricoeur…).

Sentir: una experiencia activa

Una de las principales conclusiones que uno puede extraer cuando se enfrenta al denso y extenso libro de Maurice Merleau-Ponty, Fenomenología de la percepción, es el acierto en su crítica tanto al empirismo como al racionalismo, en lo que se refiere a sus respectivos fundamentos de los procesos según los cuales adquirimos noticia de nuestro entorno. Su análisis riguroso a veces es sofocante; uno necesita tomar un poco de aire tras leer algunos de sus párrafos. Pero, cuando uno empieza a sentirse más o menos cómodo en sus páginas, observa con deleite ideas más que sugerentes sobre el modo en que el ser humano se relaciona con el mundo, en esta primera toma de contacto que englobamos bajo el nombre de percepción.

Básicamente se sitúa a caballo entre ambos polos, el empirismo y el racionalismo. Porque, no ponemos todo nosotros a la hora de percibir, pero tampoco es que no pongamos nada, y nos limitemos a ‘acusar recibo’ de la información que nos pueda llegar del exterior, para luego elaborarla. En su opinión, lo que ocurre es un proceso circular según el que, para poder percibir, necesitamos un marco previo desde el cual hacerlo; pero, a la vez, ese marco previo sólo surge de una infinidad de pequeñas experiencias que hemos ido elaborando durante nuestra vida en el seno de una cosmovisión compartida.

El sentir no es algo dominado por el sujeto, ni tampoco es algo que le domine; es un proceso activo, no muerto. Es ésta una crítica que realiza sobre todo al empirismo, que ha vaciado el sentir de todo misterio, pues lo ha reducido a la mera posesión de una cualidad; las personas seríamos meros registradores de las cualidades de las cosas que percibimos al ser estimulados. El filósofo francés, entiende que sentir es mucho más que establecer cualidades, o conceptos; y, en esto, se une a la corriente romántica: sentir «designa una experiencia en la que no se nos dan unas cualidades ‘muertas’, sino unas propiedades activas» (FP, 73). Las cualidades puras sólo podrían ser percibidas si el mundo fuese un espectáculo neutro, y nuestros propios procesos fisiológicos, los mecanismos de una máquina que se presentaría al modo de una mente imparcial ante las cosas. Pero no es éste el modo en que el ser humano está situado en la vida, sino que la visión, toda percepción, ya está habitada por un sentido, que es precisamente el que le da una función [a la percepción] en el devenir de la naturaleza, y de nuestra existencia.

El sentir no es algo mecánico, neutro, robótico, sino que reviste a lo percibido de un valor vital, de un halo de significatividad existencial, algo que tampoco es ajeno a otras especies animales, según las posibilidades de cada una.

Nuestro sentir entreteje las partes del paisaje, y éstas con la trama existencial e intencional de cada sujeto que lo percibe. «El sentir es esta comunicación vital con el mundo que nos lo hace presente como lugar familiar de nuestra vida. A él deben objeto percibido y sujeto perceptor su espesor. Es el tejido intencional que el esfuerzo del conocimiento intentará descomponer».

Si esto es así, la comprensión que podamos tener de cómo funcionan el entendimiento y la razón necesita ser revisada, pues se pone de manifiesto cómo ya no pertenecen únicamente a la esfera de la racionalidad lógica-científica, sino todo lo contrario: la racionalidad lógico-científica necesita ser subsumida en un modo más amplio de ejercer la razón, ya que la razón (y el entendimiento) no pueden ejercerse al margen de todo ese marco de sentido que posibilita, sencillamente, poder relacionarse con él. No hay un entendimiento y una razón meramente lógico-científicos, por mucho peso que pueda tener esa modalidad en determinados modos de ejercerla; todo uso lógico-científico presupone una lectura y una comprensión del mundo, a partir de la cual se puede efectivamente ejercer. «Procuraremos poner de manifiesto en la percepción así la infraestructura instintiva como las superestructuras que, mediante el ejercicio de la inteligencia, se establecen sobre aquella». Es gracias a ello, dirá d’Ors con una expresión que me parece fascinante, que podemos pensar en relieve.

A mi modo de ver, una inquietud similar es la que recorre la noología zubiriana, aunque creo que el filósofo español es más radical que el francés. ¿Por qué lo digo? Nos podemos plantear si, aun concediendo que Merleau Ponty está en lo cierto en su planteamiento (que yo así lo creo), es lo suficientemente radical. ¿Es ese modo que él nos explica el modo primario según el cual nosotros estamos situados en la realidad? Para Zubiri no, en el sentido de que hay un momento el cual, para poder ser considerado, es necesario retrotraerse un paso previo. No sé hasta qué punto este paso previo es cronológico; seguramente sea sólo lógico. A lo que se refiere el filósofo vasco es a lo que él denomina ‘aprehensión primordial de realidad’; es éste el momento primario de la inteligencia, a partir del cual, y ulteriormente, dicha inteligencia se modalizará en logos (entendimiento) y razón. La aprehensión primordial consiste en algo tan sencillo y tan rico, y tan novedoso evolutivamente hablando, como en aprehender las cosas como ‘de suyo’, previamente al marco de sentido desde el cual ejerzamos el entendimiento y la razón. Esta es la gran crítica que realiza Zubiri a la fenomenología en general: que no es lo suficientemente radical. Pero esto es otra historia.

La evolución es ruidosa

Desde un punto de vista científico, el ruido es un fenómeno que podemos decir intrínseco al funcionamiento de todos los procesos de la naturaleza. No hay fenómeno en ella que no esté aderezado con un ruido, por mínimo que éste sea. ¿Qué es ruido, desde este punto de vista? Se puede definir como pequeñas alteraciones u oscilaciones que se dan de modo aleatorio entre los elementos que componen un sistema, y que no contienen información por sí mismas, es decir, que ‘no dicen’ nada del funcionamiento de dicho sistema, cuanto menos hasta donde nosotros somos capaces de alcanzar.

Todo lo que hay en la realidad puede ser entendido sistémicamente; todo lo que existe son sistemas formados constructamente por distintas partes, generando estructuras cíclicas cerradas; no cerradas absolutamente, pero sí lo suficiente para alcanzar cierta consistencia en sí mismas, independientemente de que estén abiertas a conformar estructuras de orden superior, y a su vez estén formadas por estructuras de orden inferior. Estas estructuras nunca, nunca, son de orden estático, sino que siempre poseen un carácter dinámico. Pues bien, el ruido afecta —como decía— a todo sistema real y dinámico, y es un (incómodo) invitado de todas las teorías científicas que tratan de describir los procesos que siguen las transformaciones de los sistemas.

Ello plantea un reto interesante, a saber: que los sistemas funcionan efectivamente contando con él. Fácticamente, en todo sistema que funciona hay ruido, y no sabemos cómo funcionaría sin él. ¿Podría funcionar un universo según procesos perfectamente establecidos y definidos? Pues seguramente sí, pero el caso es que no es el nuestro.

Por otra parte, el ruido posee una consecuencia inesperada, y es que, gracias a él, se producen ciertas ‘sorpresas’ en el universo que dan lugar a nuevas realidades, a nuevos procesos, a cosas nuevas… El ruido genera alteraciones en los procesos fruto de las cuales surgen nuevos entes, y sin el cual difícilmente podrían darse. Es razonable pensar que gracias a él se generó la vida, y a la vez que se diera la evolución en su seno, mediante el fenómeno conocido como mutación.

Este es un concepto que hoy en día tenemos perfectamente asumido, pero no hace tanto la cosa estaba más complicada, incluso para el mismo Darwin. Unamuno dio un discurso en la Universidad de Valencia en el año 1909, en el que explicó que, aunque el famoso biólogo postuló este fenómeno como núcleo de su selección natural, desconocía los fenómenos según los cuales se daba. Transcribo una cita del filósofo español: «¿Cómo se produce esta diferencia radical y primaria, esta peculiaridad que distingue a un individuo de los demás? Darwin, con su profundo sentido científico, con su genial parsimonia, confesó ignorarlo. La tendencia a la variación espontánea la estimó siempre un enigma, pues no era de esos aturdidos, o más bien sectarios, que se imaginan haber la ciencia disipado los enigmas del universo. Ignoramos ―escribía― todo lo que se refiere a las causas de la variabilidad”; y en su obra sobre la Variación de los animales y las plantas: “La selección natural depende de que los individuos mejor dotados subsisten en circunstancias complejas y difíciles, pero no tiene nada que ver con la causa original de una manifestación cualquiera de estructura”. Es decir, que la selección no crea diferencias: no hace sino conservar y propagar por herencia luego aquellas diferencias individuales producidas no sabemos cómo en un ciclo embrionario. El principio de individuación es un enigma».

Efectivamente, esto es algo que hoy en día ya conocemos, pero en tiempos de Darwin (y aun de Unamuno) no dejaba de ser una teoría sin posibilidad todavía de ser contrastada. Desde los trabajos de Mendel, y los nuevos conocimientos de genética, fue siendo posible encontrar la explicación a cómo se producían las variaciones entre los distintos individuos de una misma especie, a saber: gracias a variaciones genéticas que son transmisibles hereditariamente mediante la reproducción. Curiosamente, los procesos que propician la evolución mediante la selección natural, no deja de ser un ruido en los procesos biológicos.