Reflexiones filosóficas tras el teorema de Gödel (I)

Una vez situado a Gödel en el contexto matemático de la época (que vimos aquí), quería comenzar a desentrañar algunas consecuencias filosóficas del mismo. La aportación de Gödel, a pesar de truncar las esperanzas de Hilbert, para nada fue negativa; como se suele decir, cuando se cierra una puerta, se abre una ventana. Y el caso es que, tras su famoso artículo, se introdujo un nuevo modo de entender la investigación matemática, abriendo nuevos problemas y apuntando nuevas vías de trabajo.

Una primera consecuencia puede ser ésta: que tras Gödel, ya no se trata de poner en evidencia las bondades de un determinado sistema axiomático, sino de destacar que en todo ámbito matemático (en este caso) hay más verdades que las que podamos pretender abarcar. O, dicho de otra manera: «que existe un número sin fin de proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden deducirse formalmente de ningún grupo dado de axiomas, mediante un grupo cerrado de reglas de inferencia», dicen Nagel y Newman. Esto ocurre tanto en sistemas axiomáticos aritméticos (los cuales no pueden abarcar 'todas las verdades' referentes a los números) como en cualquier sistema axiomático referente a otro ámbito de las matemáticas. Con esto no se quiere decir que los teoremas de un sistema axiomático no nos digan o no nos puedan decir verdades de la realidad, sino que no pueden agotar todas las que ‘cabrían’ en su ámbito de trabajo. A lo cual hemos de añadir otra circunstancia, como es que parece razonable pensar que la realidad es más amplia que lo que las verdades matemáticas, entendiendo a éstas como las correspondientes que nos puedan aportar todo el conjunto de sistemas matemáticos que podamos esbozar. Lo matemático nos ofrece una dimensión de la realidad, aquella que es matematizable, dejando fuera todo lo que ‘no cabe’ en su metodología específica.

Un sistema axiomático no sólo no puede agotar todas las verdades de su ámbito, sino que tampoco las matemáticas en general pueden agotar todas las verdades de la realidad. Las verdades matemáticas son un subconjunto de todas las verdades decidibles, muchas de las cuales no son necesariamente matemáticas.

Hay una segunda consecuencia interesante que no quisiera dejar de destacar, a saber: que lo que entendemos por procesos matemáticos incluye más de lo que es el ejercicio de una metodología axiomática formalizada. Cuando esa vinculación fuerte entre teoremas matemáticos y realidad ya no es tal, se ponen de manifiesto estrategias de razonamiento matemático que no son en su totalidad estrictamente lógico-matemáticas, sino de otra índole; es decir: que los matemáticos no sólo razonan matemáticamente, sino que incluyen en su razonar elementos de otra índole. De ello se hacen eco estos autores: «(…) no puede fijarse ningún límite previo a la capacidad inventiva de los matemáticos para descubrir nuevas reglas de prueba», que ya dejan de ceñirse a un procedimiento eminentemente lógico-formal, y pueden apelar a otros recursos.

Ejemplo paradigmático de ello fue sin duda otro genio de la matemática, Henri Poincaré, quien ponía de manifiesto cómo factores estéticos, con un correlato importante en la fisiología del cerebro humano, eran determinantes a la hora de poder investigar en la matemática y de resolver problemas matemáticos. Venía a decir algo así como que con la lógica se demuestra, pero con la intuición se inventa. Se hacía así eco de lo que Eugenio d’Ors denominó razón estética que, como ya comenté en otro lado, no significaba tanto que lo estético era un añadido, o un acompañante de la verdad lógica, sino que lo estético proporcionaba un modo de conocimiento verdadero ajeno a los cánones del razonamiento lógico, que es totalmente distinto. En línea con la primera consecuencia que comentaba, se puede decir que ‘la’ verdad es más amplia que la verdad ‘lógico-matemática’: cabe una verdad ‘estética’, por lo pronto. Por este motivo, buena parte de esta verdad siempre será indemostrable formalmente. La verdad presenta diversas dimensiones, cada una de las cuales se ha de alcanzar con una metodología propia. En función de la metodología (no olvidemos que método significa ‘vía para’, ‘camino para’ llegar a un fin o a un resultado), alcanzaremos un tipo de conocimiento, afín a dicha metodología; si la metodología es matemática, el conocimiento será matemático; si la metodología es estética, el conocimiento será estético; si la metodología es ético-vital, el conocimiento ético-vital; etc. Como dice Rodríguez-Salinas, es importante preocuparse por el método que se emplea para adquirir el conocimiento, pero más importante es llegar a una verdad que desborda cualquier método que podamos emplear; más importante es tener una mente abierta, ejercitada y tenaz pero abierta, capaz de reflexionar bajo distintas claves, y tener la sensibilidad suficiente como para alcanzar la belleza profunda que subyace a cualquier conocimiento verdadero que podamos alcanzar.

Esto que estoy comentando pone de manifiesto las limitaciones de la inteligencia artificial, ya que las máquinas calculadoras, por muy potentes que sean, siempre se encontrarán en un sistema axiomatizado determinado, y habrá cuestiones que nunca podrán resolver. Es cierto también que el cerebro humano tendrá limitaciones intrínsecas que le impedirán acceder a determinados tipos de conocimiento; pero no lo es menos que nuestro cerebro puede utilizar medios diversos en su razonamiento, el cual ya no tendrá que ceñirse estrictamente al lógico-matemático, y que le permitirá acceder a otro tipo de verdades que permanecerán veladas a los súper-ordenadores, limitados a la inferencia matemática. Se pone de manifiesto a su vez que la razón humana no puede ser totalmente formalizada; menos mal porque ello significa que podemos generar nuevos modos de razón y nuevos marcos conceptuales más allá de los dados y no generados lógicamente a partir de ellos. De hecho, hay proposiciones matemáticas que no pueden establecerse mediante una deducción formal partiendo de los axiomas correspondientes, pero que muy bien pueden ser establecidos mediante razonamientos meta-matemáticos ‘informales’. Evidentemente, que no puedan ser alcanzables mediante razonamientos lógicos no implica que no sean alcanzables, sino que no lo son por razonamientos lógicos; muy bien podrían serlo por otro tipo de razonamientos, no lógico-matemáticos, lo cual no implica ni mucho menos que sean meras ocurrencias; de hecho, también son racionales, pero no según la razón lógico-matemática. Nagel y Newman llegan a decir que, afirmar lo contrario (que sólo son válidos los resultados de una razón lógico-matemática) es poco menos que una irresponsabilidad: «sería una irresponsabilidad afirmar que estas verdades formalmente indemostrables, establecidas por argumentos meta-matemáticos, estén basadas en nada más ni mejor que meros recursos a la intuición».