La problemática en torno al teorema de Gödel

Una vez expuesta un amago de comprensión del teorema de Gödel (en la medida de mis posibilidades, consciente de mis limitaciones), quisiera acometer en breve una reflexión sobre las consecuencias filosóficas del mismo, tratando de culminar el asunto con la lectura que hace Zubiri, para lo cual nos sumergiremos un poco en el segundo volumen de su trilogía, Inteligencia y logos, donde trata específicamente el problema de lo matemático. Antes de acometer esta tarea, trataré de resumir aquí la idea general que subyace a todos los posts que he ido publicando en torno a este asunto.

En los comienzos del siglo XX, estaba muy presente en el imaginario matemático ese viejo sueño ya presente en autores como Ramón Llull o Leibniz, de intentar alcanzar un modo científico de ejercer la razón, mediante el cual podríamos conocer toda la realidad. La idea era intentar formalizar totalmente el razonamiento matemático, de modo que la culminación sería poder demostrar su consistencia, es decir, que dicho sistema no es contradictorio. Ciertamente, en esta época se habían puesto de manifiesto algunas paradojas en algunos de estos sistemas formales, por lo que los cimientos de esta fantástica empresa se mostraron más débiles de lo que en un principio se suponía. Como contraposición a esta situación, surgió el empeño de demostrar que no, que no pasaba nada, que las matemáticas efectivamente eran consistentes.

Hubo dos grandes pasos en este sentido, a saber: el monumental tratado Principia Mathematica de Russell y Whitehead y la teoría de conjuntos de G. Cantor; aunque no todos los autores estaban de acuerdo con ello, como veremos ahora enseguida. Su gran mérito fue que en ellos se podía expresar toda la matemática conocida hasta la fecha; por lo que, si se conseguía demostrar su consistencia, pues asunto acabado. El clima en general, en el que se incluía el mismo Hilbert, era optimista: se pensaba que era cuestión de tiempo alcanzar esta demostración; de hecho, pensaba incluso que más pronto o más tarde, todo conocimiento científico caería bajo el método axiomático. También para el mismo Gödel, quien inició sus trabajos en este sentido. Pero, la vida da muchas vueltas y, paradójicamente, cuanto más investigaba, más se le iba haciendo presente la imposibilidad de dicho proyecto, desembocando precisamente en lo contrario, «que existen verdades aritméticas no demostrables, entre ellas la consistencia o no contradicción de la aritmética». Como dice Gutiérrez, «por esas ironías del destino, quien estuvo más cerca de llevar a cabo el problema de Hilbert fue precisamente quien le dio el tiro de gracia».

Efectivamente, Gödel estaba inserto en una polémica muy importante relativa a los mismos fundamentos de las matemáticas. Porque ―como decía― no todos los autores estaban de acuerdo con los planteamientos de Whitehead-Russell y Cantor. Brouwer por ejemplo, quien sostenía que el uso del infinito que hacía Cantor era poco menos que absurdo, y no le veía justificación, reduciéndose tan sólo a un juego de palabras. Aunque esta crítica no hizo fortuna, sí que la hizo otra, que también siguió Hilbert, como fue que, en su opinión, sólo pueden ser válidos aquellos objetos que se pueden construir algorítmicamente según una cantidad finita de pasos, aunque los objetos en sí sean infinitos. Hilbert no siguió a pies juntillas a Brouwer, presentando una alternativa a su intuicionismo. De hecho, en su sistema entre matemáticas y meta-matemáticas estaba presente la exigencia de finitud y constructividad entre los elementos del sistema formal y los enunciados. Así pensaba que se podrían validar algorítmicamente los razonamientos matemáticos. Todo esto ya lo hemos ido viendo en los posts previos de esta categoría.

Pues bien, todas estas esperanzas fueron truncadas por Gödel, en su famoso articulito escrito en 1930 pero publicado en 1931, titulado “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”, en el cual exponía su ‘teorema de incompletitud’. En palabras del mismo Gödel: «Como es sabido, el progreso de la matemática hacia una exactitud cada vez mayor ha llevado a la formalización de amplias partes de ella, de tal modo que las deducciones pueden llevarse a cabo según unas pocas reglas mecánicas. Los sistemas formales más amplios construidos hasta ahora son el sistema de Principia Mathematica (PM) y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (desarrollada aún más por J. von Neumann). Estos dos sistemas son tan amplios que todos los métodos usados hoy día en la matemática pueden ser formalizados en ellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. Resulta por tanto natural la conjetura de que estos axiomas y reglas basten para decidir todas las cuestiones matemáticas que puedan ser formuladas en dichos sistemas. En lo que sigue se muestra que esto no es así, sino que, por el contrario, en ambos sistemas hay problemas relativamente simples de la teoría de los números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas (y reglas)». Me maravilla la soltura de Gödel quien así, tan campante, no duda en afirmar: ‘en lo que sigue se muestra que esto no es así’.

Duro golpe para Hilbert, pues echó por tierra todas sus pretensiones. Como hemos estado viendo, Gödel venía a decir que, en un sistema consistente, en el que sólo se admiten demostraciones verificadas algorítmicamente según los elementos de dicho sistema en una serie finita de pasos, siempre habrá un enunciado P, tal que ni él ni su negación son demostrables en él. Es decir, que P es indecidible en dicho sistema; con lo cual dicho teorema se puede expresar también como que en dicho sistema hay por lo menos una proposición P indecidible. Lo cual quiere decir que hay por lo menos una proposición verdadera fuera del sistema que no puede ser demostrada en él.