Aritmetización de enunciados meta-matemáticos

Con la aritmetización del sistema del cálculo formal (que vimos en este post) no hemos hecho sino seguir el primer paso de Gödel. El segundo paso tiene que ver con lo que reza el título de este post. Sabemos que, de cada sistema de cálculo, se pueden realizar enunciados meta-matemáticos (tal y como hacía Richard, aunque él no lo hiciera de modo adecuado). Pues bien, algo así fue lo que Gödel trató de hacer: un mapeo de enunciados meta-matemáticos, en definitiva. Su idea de partida fue que «todos los enunciados meta-matemáticos acerca de las propiedades estructurales de expresiones dentro del cálculo pueden reflejarse adecuadamente dentro del cálculo mismo». Es decir: probar el conjunto de todos los enunciados meta-matemáticos puede definirse empleando únicamente las propiedades del sistema aritmético definido.

¿Cuál fue su modo de razonar, para no caer en el mismo error que Richard? Básicamente se puede explicar así. Si se ha conseguido asociar un determinado número a cualquier expresión en el seno de un sistema de cálculo, análogamente se podrá asociar también un determinado número a todo enunciado meta-matemático asociado a la expresión de dichas relaciones; es decir, cualquier expresión meta-matemática acerca de las relaciones entre los elementos del sistema, puede construirse como una expresión acerca de los números de Gödel correspondientes, así como de sus relaciones, mediante elementos del propio sistema. ¿Cuál sería la diferencia con Richard? Pues que estos enunciados meta-matemáticos estarían íntimamente vinculados a la ‘naturaleza’ (podemos decir) del mismo sistema formal (cosa que no ocurrió en el planteamiento de aquél, cuyos enunciados eran extra-matemáticos, o ajenos a la ‘naturaleza’ del sistema formal al que hacían referencia).

Según esto, los enunciados meta-matemáticos quedarían también aritmetizados. Si lo he entendido bien, lo que quiere hacer Gödel es lo siguiente. Decimos una expresión meta-matemática sobre las relaciones formales. Dicha expresión, se refiere, efectivamente, a elementos del sistema formal y sus relaciones, a cada uno de los cuales le corresponde un número de Gödel. Pues bien, dicho enunciado meta-matemático se puede expresar también mediante números de Gödel, de modo que a cada enunciado le corresponderá su número de Gödel. Así, todo enunciado meta-matemático tendrá su correspondiente número de Gödel y, lo que es más interesante, entrará a formar parte del sistema formal que se había definido. Al formalizar los enunciados meta-matemáticos, éstos pasan a formar parte del propio sistema formal. Es un mapeo de los enunciados meta-matemáticos sobre un sistema formal, en el propio sistema formal.

Un ejemplo de mapeo que nos puede servir para comprender esto, y toda la información meta-matemática que implica, y que nos explican Nagel y Newman, es el de los números que nos son asignados cuando estamos a la espera de que nos atiendan en el supermercado . Si yo tengo el número 42, y otra persona el 35, no hace falta que el dependiente nos diga nada: sabemos que, en principio, por lo menos han ido a comprar 42 personas, y que la otra persona va antes que yo, etc. Mi situación en la cola, y todo lo que ello conlleva, queda expresado en un simple número. Del mismo modo, cada enunciado meta-matemático sobre el sistema formal, queda ‘resumido’ en una cifra; y esa cifra, siguiendo el camino inverso, nos lleva a ese, y sólo a ese, enunciado meta-matemático. De este modo, las relaciones de dependencia lógica que podamos establecer entre dichos enunciados, quedarán perfectamente reflejados en las relaciones de dependencia entre sus expresiones meta-matemáticas correspondientes.

Supongamos una expresión ‘a’, la que sea, que tendrá un número de Gödel. Supongamos otra ‘b’, que está contenida en aquella; es decir, que es una parte de aquélla, y que tendrá por su parte otro número de Gödel. La relación que hay entre ambas expresiones es que ‘una está contenida en la otra’, es decir, que la fórmula menor está contenida en la fórmula mayor. Si esto es así, se observa fácilmente que el número de Gödel de la pequeña será un factor del número de Gödel de la grande. Pues bien, siguiendo este esquema, la relación entre ambas también se podría axiomatizar, y calcular su número de Gödel correspondiente; si el enunciado meta-matemático es que la expresión pequeña está contenida en la grande, o que es un factor de la grande, se podría aritmetizar la expresión ‘ser factor de’, de modo que el enunciado meta-matemático expresado más arriba quedaría como ‘b es un factor de a’. Un caso real podría ser el siguiente. Supongamos un axioma (a), que diría (pVp)⸧p’; consideremos la expresión (b) (pVp), la cual se comprueba que es una parte del primer axioma. Pues bien, el enunciado meta-matemático quedaría así: (pVp) es una parte de (pVp)⸧p’. Tendríamos así como una función de dos variables, como lo que tradicionalmente conocemos como f(x,y) que, en este caso, quedaría expresada en el caso de las expresiones a y b. A la función general ‘y está dentro de x’, le aplicamos los valores concretos a y b, y quedaría f(a,b), es decir: ‘b está dentro de a’.

Con esto se consigue algo interesante, a saber: que, una vez mapeados los enunciados meta-matemáticos, gracias a las relaciones de dependencia entre los elementos del sistema formal, podemos, a su vez, investigar sobre las relaciones de dependencia que se puedan establecer entre los enunciados meta-matemáticos. La estructura del sistema formal, nos ayuda a investigar la estructura de las relaciones meta-matemáticas. Y digo ayuda, porque entiendo que esto no es sino un enfoque más determinado por la perspectiva lógico-formal; pero no será el único, atendiendo a otras ‘lógicas’.

Y, todo esto, ¿para qué? A mi modesto entender, lo que pretende Gödel es realizar una afirmación meta-matemática que, una vez ‘mapeada’, es decir, una vez aritmetizada o transformada al lenguaje aritmético en cuestión, demostrar que no puede ser obtenida por la derivación lógica inherente a dicho sistema aritmético. Recordemos que ya vimos que, cuando en un sistema todas sus verdades pueden ser deducidas de los axiomas, dicho sistema no es consistente. Entonces, si queda de manifiesto que existe una afirmación que no es demostrable lógicamente, queda de manifiesto también que el sistema axiomático en cuestión es consistente, ya que no pueden derivarse en él todas las verdades pertenecientes a su ámbito.