La aritmetización del sistema de cálculo formal

La verdad es que el planteamiento de Gödel fue complicado. A ver si podemos ir alcanzando poco a poco su comprensión, partiendo de la base que explicamos en el anterior post. A ver si poco a poco podemos ir recogiendo toda la información que hemos visto, para ir dando forma a su planteamiento. Lo primero que hizo Gödel fue establecer un sistema de cálculo formalizado (con todos los ingredientes que ya vimos en este post) en cuyo seno se pudieran expresar las notaciones y relaciones aritméticas corrientes, con sus fórmulas de cálculo en las que se combinan los signos que constituyen el vocabulario fundamental del sistema. También estableció los axiomas, a partir de los cuales se podían ir aplicando las distintas fórmulas en los correspondientes teoremas. Hasta aquí nada nuevo.

Una primera novedad que hizo Gödel fue la aritmetización de este sistema formal. ¿En qué sentido? Lo que hizo fue asignar un número a los signos elementales, a las fórmulas y a los teoremas, número que se conoce como el número de Gödel, numeración que, en principio, alcanza a todos los enunciados, independientemente de si son verdaderos o falsos. En referencia a los signos elementales, les asignó el número tanto a los signos constantes que expresan las operaciones fundamentales (‘no’, ‘si… entonces…’, ‘igual’, etc.), como a las variables numéricas (‘x’, ‘y’ y ‘z’) como a las proposicionales (‘p’, ‘q’ y ‘r’) y a las predicativas (‘P’, ‘Q’ y ‘R’), a base de números naturales, números primos, cuadrados de números primos y cubos de números primos, según el siguiente criterio. Los signos constantes (variables constantes y signos de puntuación) los identificó sencillamente con los números del 1 al 10 (por ejemplo, los paréntesis de apertura ‘(‘ y de cierre ‘)’ con los números 8 y 9 respectivamente; las variables numéricas con los primeros primos mayores que 10, o sea, 11, 13 y 17; las proposicionales con los cuadrados de éstos; y las predicativas con sus cubos. Así, por ejemplo, el número 11 equivale a ‘x’, el 13² a ‘q’ y el 17³ a ‘R’.

A partir de ahí, estableció también el modo de asignar números a las fórmulas y a los teoremas, mediante una serie de normas que él estableció. Quizá el mejor modo de explicarlo sea con un ejemplo. Pensemos en la siguiente fórmula: ‘todo número tiene un sucesor inmediato’; expresado como una fórmula, se puede decir que ‘hay una x, tal que x es el inmediato sucesor de y’. Y en notación aritmética, (∃x)(x=sy). Cada uno de estos signos tiene ya establecido un número: ‘(‘ el 8; ‘∃’ el 4; ‘x’ el 11; ‘)’ el 9; ‘=’ el 5; ‘s’ el 7; e ‘y’ el 13. Pues bien, el número asociado a esta fórmula se obtiene elevando los sucesivos números primos a las potencias establecidas por los números asociados a cada signo, multiplicándolos. Como la fórmula tiene 10 elementos, necesitaremos una serie de 10 números primos, que será: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. El número de Gödel de esta fórmula sería el resultado de multiplicar todos los números primos, elevados cada uno a la potencia que define el valor de cada uno de los signos que intervienen en la fórmula. Así el resultado sería elevar 2 al número de (; 3 al número de ∃; 5 al número de x; etc. Y sería este resultado: 2⁸ · 3⁴ · 5¹¹ · 7⁹ · 11⁸ · 13¹¹ · 17⁵ · 19⁷ · 23¹³ · 29⁹. Es una metodología no demasiado compleja, pero sí farragosa. Pero, de este modo, a cada fórmula se le aplicaría también un número. Y, de manera análoga, a toda secuencia de fórmulas: supongamos las fórmulas (1), (2) y (3) con sus números de Gödel respectivos n1, n2 y n3. Dicha secuencia tendría el número de Gödel siguiente: 2ⁿ¹ x 3ⁿ² x 5ⁿ³.

¿Qué ha conseguido Gödel con esto? Pues aritmetizar completamente todo el cálculo formal de su sistema. Ha logrado establecer una correspondencia entre los elementos y fórmulas de su sistema y ciertos elementos de la serie natural de los números enteros. Mediante dicho método, toda expresión formal tiene su correspondiente número de Gödel. Y tiene uno y no otro. De modo que conociendo uno de estos números, podemos determinar perfectamente de qué fórmula se trata. Y además, dado un número entero cualquiera, podemos averiguar si es un número de Gödel o no; es decir, si responde a una expresión concreta la cual puede ser ‘recuperada’ o ‘restaurada’ a partir de él. ¿Por qué? Si es un número del 1 al 10, es evidente que el signo que determina se puede identificar, porque así se ha definido. Si es mayor que 10, tal número puede ser descompuesto en factores primos y, a través de ellos, identificar sus elementos. Dicen Nagel y Newman: «Si es un primo mayor que 10 o la segunda o tercera potencia de este primo, es el número de Gödel de una variable identificable. Si es el producto de primos sucesivos, cada uno elevado a alguna potencia, puede ser el número de Gödel de una fórmula o de una secuencia de fórmulas», las cuales pueden ser identificadas exactamente, y reconstruir la expresión a la que se refieren.

Por ejemplo: sea el número 243.000.000. ¿Es un número de Gödel? Su descomposición en números primos es la siguiente: 2⁶ · 3⁵ · 5⁶, por lo que apunta maneras. Se trataría de una fórmula de 3 elementos (porque hay tres números primos: 2, 3 y 5), elementos que son los que se corresponden con los números respectivos de los exponentes: 6, 5 y otra vez 6; que, según sus definiciones previas, son el número 0, el signo ‘=’, y otra vez el número 0. O sea, la expresión es 0 = 0. Nos damos cuenta de que al número de Gödel 243.000.000 le corresponde la expresión 0 = 0. Operando al revés, partiendo de la expresión 0 = 0, habríamos llegado al mismo número de Gödel, 243.000.000.

Con esto no hemos hecho más que empezar. El siguiente paso tiene que ver con la aritmetización ya no de los elementos propios del sistema formal, sino de enunciados meta-matemáticos. Pero eso lo dejo para el siguiente post.