Del mapeo al planteamiento de Gödel

Como decíamos en el anterior post, la paradoja de Richard, a pesar de ser falaz, nos podía ser muy útil en tanto que nos introducía a un concepto matemático muy interesante, y que nos iba a ayudar la estrategia de Gödel; con él ya tenemos todos los ingredientes: se trata del concepto de mapeo. ¿Qué es un mapeo? La verdad es que se trata de algo a lo que estamos muy acostumbrados todos: consiste en reflejar un sistema en otro, en el cual nos es más cómodo trabajar. El ejemplo más cotidiano sería un atlas geográfico; un atlas es un mapeo, en el sentido de que se ha establecido como una proyección de la geografía real de nuestro planeta sobre el papel Para conocer el relieve de Perú no nos tenemos que ir a Perú, sino que podemos consultar nuestro atlas y lo conoceremos. Otro ejemplo sería la proyección de volúmenes sobre el papel: figuras en tres dimensiones nos aparecen en dos (esferas se proyectan en círculos, pirámides en triángulos...). Otro mapeo, menos intuitivo, pero también mapeo, al fin y al cabo, es la proyección matemática de las figuras geométricas, también conocido como… álgebra: cualquier figura geométrica (una circunferencia, una recta, una parábola...) puede ser ‘traducida’ o ‘proyectada’ en una ecuación matemática, que la expresa. Así, podemos determinar, por ejemplo, las intersecciones de dos figuras, bien geométrica, bien algebraicamente.

Pues eso es un mapeo: el reflejo o la proyección de un sistema en otro, de modo que una «una estructura abstracta de relaciones comprendida en un campo de ‘objetos’ se mantiene también entre ‘objetos’ (generalmente de diferente tipo a los de la primera serie) de otro campo» . Una cosa es una esfera, y otra un círculo resultado de proyectar dicha esfera sobre el plano; una cosa es una recta y otra la ecuación matemática que la define; pero tanto unos como otros no dejan de ser objetos, cada uno de diferente índole, e intrínsecamente relacionados entre sí.

Y, si recordamos la paradoja de Richard, algo así es lo que hacía su autor: mapear ciertos contenidos meta-matemáticos proyectándolos o reflejándolos sobre un sistema formal. Pues bien, ésta es la idea que recoge Gödel, intentando no caer en el mismo error en que cayó Richards (quien, en definitiva, confundió lo meta-matemático con lo matemático en la definición de su sistema). Lo que Gödel mostró es que «los enunciados meta-matemáticos acerca de un cálculo aritmético formalizado pueden en verdad representarse mediante fórmulas aritméticas dentro del cálculo», nos explican Nagel y Newman. La diferencia entre el planeamiento de Richard y el de Gödel estriba —a mi modo de ver— en que los enunciados meta-matemáticos eran, en definitiva, ajenos a la dinámica formal del sistema, mientras que los de Gödel no.

En su pensamiento estaba este planteamiento de base: «Si enunciados matemáticos complejos acerca de un sistema formalizado de aritmética pudieran, como él lo esperó, traducirse en (o estar reflejados por) enunciados aritméticos dentro del sistema mismo, se obtendría una importante ventaja para facilitar las demostraciones matemáticas».

Es algo que parece de locos. O sea: tenemos un sistema matemático definido. Sobre ese sistema matemático podemos decir cosas: es el ámbito de lo meta-matemático (tal y como Hilbert nos enseñó). Pues resulta que estas proposiciones meta-matemáticas se pueden formalizar, es decir, se pueden representar mediante formulaciones matemáticas, e introducirlas así en el seno de las inferencias formales que se establecen en ese sistema. Parece algo así como si hubiera una involución, o una absorción, de algo externo a un sistema que se introduce en el sistema mismo. Y ello sin caer en los errores en los que incluyó Richard, ya que esos enunciados meta-matemáticos no eran ajenos al ámbito de lo formalmente matematizado.

Y, todo esto, ¿para qué?, ¿qué es lo que pretende Gödel? Una vez establecida esta posibilidad de formalizar correctamente enunciados meta-matemáticos, lo que Gödel trataba de hacer es mostrar que, tanto una fórmula aritmética correspondiente a la formalización de un enunciado meta-matemático verdadero, como la fórmula aritmética correspondiente a su negación, son demostrables dentro del sistema. Ya vimos en este post que ello implicaba que tal sistema ya no era consistente, con lo cual se ponía en evidencia que tal sistema (como cualquier otro) no podía agotar el campo de las verdades aritméticas que dependen de él; o sea, su famoso teorema. Dicho en palabras de los Nagel y Newman: «No puede establecerse ese enunciado meta-matemático, a menos de usar reglas de inferencia que no pueden representarse dentro del cálculo; de tal manera que, para probar el enunciado, deben emplearse reglas cuya propia consistencia puede ser tan discutible como la consistencia de la aritmética misma».