La formalización de un sistema matemático: nuevas perspectivas de la realidad

Decíamos en otro post que la formalización del cálculo matemático ha sido un paso fundamental en la historia de esta disciplina. De hecho, hoy en día estamos ‘rodeados’ de sistemas formales que contribuyen a mejorar nuestro día a día, de los que a menudo no somos conscientes, como aquellos que se ponen en acción cuando estoy escribiendo estas palabras con mi ordenador. El origen de este ímpetu formalizador hay que situarlo en las intenciones logicistas de cambio de siglo, sobre todo de la mano de Frege. Este autor estableció su programa logicista, que consistía «en reducir todos los términos matemáticos a definiciones explícitas en las que sólo intervinieran términos lógicos, por un lado, y en conseguir demostrar todas las proposiciones matemáticas a partir de unos cuantos principios considerados como lógicos y mediante el empleo de reglas de razonamiento también lógicas», dice Lorenzo.

¿En qué consiste este proceso? ¿Qué hay que hacer para formalizar un determinado lenguaje? Pues hay que definir todos sus elementos. Hay dos aspectos que quisiera destacar, siguiendo a Raguní. El primero es que, en la definición hay que contar no sólo con sus elementos constitutivos y funcionales, sino también con otros elementos más sutiles que se dan en la práctica, y que tienen que ver con procesos de simplificación de expresiones largas (o denotaciones). Hay que destacar que definir no sólo tiene el objeto de acotar, de abreviar, sino más bien de evidenciar entes que concentran ciertas propiedades más o menos numerosas a expresar, algo que, conforme se complican las proposiciones, se erige en una tarea imprescindible. Un ejemplo familiar es el uso del símbolo ‘N’ cuando nos referimos al ‘conjunto de los números naturales’; no hay que repetir cada vez que necesitamos referirnos a él esa expresión, sino que basta con decir ‘N’. El segundo aspecto, y que ya vimos cuando hablábamos de la metamatemática, es que en toda definición hay una convención semántica, es decir, el lenguaje matemático, hasta el más básico, necesita de cierto significado ajeno a su propio lenguaje.

Una vez aclarado esto, se pueden establecer cuatro etapas. Hay que establecer unas convenciones mínimas para que el sistema sea operativo, sobre el cual sobrevuela un objetivo definido (aunque no necesariamente ha de ser explícito): que sea útil para generar conocimiento. Es decir, interesa que los teoremas verdaderos en el sistema formal nos conduzcan a interpretaciones verdaderas de la realidad, es decir, nos interesan modelos de interpretación correctos. «En tales condiciones, los teoremas son útiles e interesantes porque constituyen proposiciones verdaderas en tales modelos». Sin embargo, esto no será del todo posible, no hay una relación perfectamente biunívoca entre las proposiciones verdaderas en uno o en otro lenguaje, lo que dará pie a algún problema, como veremos en breve.

Pues bien, lo primero que habría que hacer es generar un vocabulario, es decir, una relación de todos los signos de que va a constar el sistema, y que consecuentemente se van a emplear en el cálculo. El segundo paso sería el establecimiento de las reglas de formación, es decir, qué combinaciones de signos son aceptables en el sistema o no. Por ejemplo, en nuestra aritmética la expresión ‘2+5=7’ es admisible, pero ‘2+=57’ no. En lógica simbólica, más importante para nosotros en este contexto, ‘pVq’ es admisible, pero ‘pqV’ no. En este ámbito son conocidos los operadores ‘no’→, ‘y’, ‘o’ y ‘si…entonces’. Estas reglas de formación están diseñadas de tal modo que las expresiones resultantes de su buen uso ofrezcan proposiciones o fórmulas en dicho sistema. De este modo, si ‘p’ es una proposición, su negación ‘no p’ también lo será; o, si ‘p’ y ‘q’ son dos proposiciones, ‘p y q, o ‘p o q’, o ‘p→q’, etc., también lo serán, siempre que estén expresadas respetando dichas reglas de formación.

Démonos cuenta de que aquí no entra todavía la corrección o no de la operación, sino la sintaxis de los signos, cómo se pueden agrupar en orden a expresar una proposición. La corrección de la operación tiene que ver con las reglas de transformación, en base a las cuales se construyen unas fórmulas y se hacen derivar unas proposiciones en otras: son las reglas de la inferencia, mediante las cuales se obtienen los distintos teoremas. Lo suyo es que el conjunto de estas reglas sea no vacío (es decir, que haya por lo menos una), pero también finito (para que lo podamos manejar). Y, por último, lo que hay que hacer es escoger ciertas proposiciones como axiomas, que serán en definitiva el punto de arranque y de apoyo de todo el sistema.

Vocabulario, reglas de formación, reglas de transformación y axiomas, son los cuatro grandes elementos de que consta un sistema formal. El sistema formal sería algo así como un constructo teórico, compuesto en definitiva de un lenguaje (formal) y de un mecanismo de procesamiento, de transformación o de deducción. Dicho lenguaje estaría compuesto por un conjunto de signos, los cuales se encuentran exentos de cualquier valor semántico en su definición (es decir, en tanto que formal, no debe poseer primariamente ningún correlato con la realidad), así como ese conjunto de reglas que nos dicen cómo han de combinarse los signos para que las expresiones que se realicen con el vocabulario sean expresiones correctas. Por su parte, el mecanismo de procesamiento no sería otra cosa que las reglas de transformación, es decir, reglas que nos dicen cómo transformar unas expresiones en otras.

Para los ajenos a este mundo es complicado hacernos a la idea de lo que es un sistema formal en tanto que conjunto de signos sin significado alguno, que operan según unas reglas definidas previamente. Pensar en ese cálculo formal sin mayor correlato con la realidad es complejo.

Un buen modo de imaginarnos cómo ‘funciona’ un sistema formal que se me ocurre, es intentar ponernos en el lugar de una máquina que juega al ajedrez. Los movimientos que calcula la máquina no tienen para ella ningún significado como sí que lo puedan tener para los ajedrecistas. Para la máquina, para deep blue, no sólo no tienen ningún significado los movimientos, sino que tampoco lo tienen ni el tablero, ni las fichas, ni el contrincante… Lo único que hace es establecer combinaciones en función de las reglas que se han puesto a la base del sistema, y escoger las que más probabilidades de éxito le ofrezcan. Sus cálculos no tienen ningún valor semántico.

Una última idea para acabar. Si nos fijamos, el método axiomático posee una limitación, que bien entendida puede dar lugar a una gran ventaja; como se suele decir, una debilidad se puede convertir en una fortaleza. ¿Cuál es la debilidad? Pues el hecho de tener la limitación de poder pensar únicamente desde el marco definido por sus axiomas. Sí, dado un marco axiomático determinado los enunciados y teoremas que se pueden hacer son infinitos, pero el caso es que no son ‘todo’ lo infinitos que quisiéramos. (¡Vaya!, creo que aquí es aplicable lo de Cantor y sus distintos infinitos). Sólo podremos crear infinitos teoremas en el marco definido por esos axiomas… Sí, serán infinitos, pero… sólo dentro de un marco. Aunque, si nos fijamos, el caso es que también podemos establecer infinitos marcos, podemos definir tantos sistemas axiomáticos como queramos, de modo que cada uno de ellos pueda albergar en su seno infinitas proposiciones. Ahora tendríamos infinitos marcos en cada cual se pueden albergar infinitas proposiciones… Y ésta era la fortaleza. No el hecho de que se puedan generar tantas proposiciones (ya que, muchas de ellas no serán muy útiles), sino el hecho de que estos nuevos marcos axiomáticos nos pueden servir —y de hecho nos sirven— para aproximarnos a la realidad desde distintas perspectivas, muchas de ellas ajenas al sentido común, al sentido común euclidiano. Gracias a estos nuevos marcos podemos pensar un espacio curvo, por ejemplo. Esto no ocurre siempre, ni mucho menos, pero a veces sí. Y en este sentido, y además de la importancia que tengan en sí mismas, las matemáticas se erigen en una importante herramienta para, desde ellas, adentrarnos en la realidad desde nuevos enfoques.