La completitud de un sistema axiomático

En el anterior post de esta serie estuvimos hablando de la consistencia de un sistema axiomático. Tal y como estuvimos viendo en él, si es posible encontrar una fórmula que no sea teorema, es decir, si hay por lo menos una fórmula que no sea derivable de los axiomas, entonces el sistema axiomático es consistente. Pues bien, hay un último concepto que debemos conocer, como es el de completitud.

Si nos fijamos, en un sistema axiomático consistente, todo teorema es tautológico, es decir, todo teorema es una verdad lógica, en el sentido de que puede ser obtenido a partir de los axiomas operando adecuadamente. Antes de continuar quisiera llamar la atención sobre esto. A las personas que somos ajenas a este mundo, no puede dejar de sorprendernos este carácter tautológico de las proposiciones lógicas, pues solemos tenerlo asociado a cierto matiz peyorativo: una tautología —así en retórica— es un argumento falaz. Pero, como vemos, su interpretación en este contexto es muy diferente. Y es que una de las paradojas de la lógica es precisamente su carácter tautológico, en el sentido de que, operando según sus reglas, el contenido de todo teorema ‘ya’ se encuentra de alguna manera implícito en los axiomas. Las reglas operativas y de transformación no aportan, en rigor, nada nuevo que no estuviera ya en los axiomas; otra cosa, y ahí está el quid de la cuestión, es que puedan desgranar, desplegar todo ese contenido implícito con expresiones nuevas (los teoremas, las proposiciones, etc.) que, atendiendo únicamente a los axiomas, no éramos capaces de aprehenderlo (de ahí la necesidad del cálculo lógico, por cierto). Digamos que nos ofrecen la realidad desde perspectivas que, sin ellos, difícilmente podríamos haber captado. Por este motivo, todos los teoremas de un sistema axiomático son tautológicos, no pueden no serlo, porque con todo teorema afirmamos algo que, de algún modo, ya está afirmado en los axiomas. Kant se referirá a ellos denominándolos ‘analíticos’, explicativos, y no sintéticos. Pero bueno, volvamos al asunto del post.

Hablábamos del tema de la completitud. ¿Qué se quiere decir con él? El asunto es: dado que todo teorema es una verdad lógica, cabe preguntarse la inversa, es decir, que toda verdad es expresable en el vocabulario del cálculo; o, lo que es lo mismo: que toda verdad (perteneciente a ese ámbito, evidentemente) es derivable de los axiomas; que los axiomas y reglas de transformación del sistema son suficientes para decidir todas las cuestiones propias de dicho sistema, que pudieran ser formuladas allí. O no. Si la respuesta es afirmativa, tal sistema se denomina completo, es decir, «los axiomas se bastan para generar todas las fórmulas tautológicas, todas las verdades lógicas expresables en el sistema» . Del mismo modo, se dice que tales axiomas son completos. Un sistema es completo, por tanto, «cuando cada una de las fórmulas del sistema o su negación es demostrable en él».

Y éste es un asunto importante, el poder averiguar si un determinado sistema axiomático es completo. ¿Por qué? Porque ello pertenece al espíritu de las matemáticas, en general: el deseo de, partiendo de unas pocas proposiciones iniciales, poder alcanzar todas las verdades pertenecientes a algún campo de la investigación.

De hecho, algo así hizo Euclides axiomatizando la geometría clásica: escogiendo unos pocos axiomas fundamentales, pretendía, a partir de ellos, poder afirmar cualquier verdad geométrica, tanto las que ya se sabían, como aquellas que pudieran descubrirse en un futuro (y que, en consecuencia, no podía prever). No se puede negar en el gran Euclides una intuición sorprendente, sobre todo en la elección de su quinto postulado (que viene a decir que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela). ¿Por qué? Este postulado no era tan evidente para el espíritu griego como los otros cuatro, y generó cierta polémica entre los matemáticos. Euclides lo incluyó en el sistema axiomático para poder dar ‘cabida’ a todas las verdades geométricas, es decir, para que su sistema fuera completo; entendía que sin él su sistema se quedaría ‘cojo’, y ello a pesar de la problematicidad de incluirlo. De hecho, a causa de su poca evidencia intuitiva, algunos matemáticos se empeñaron en demostrar que era un resultado derivado de los cuatro primeros axiomas, sin éxito. De ahí la gran intuición de Euclides (independientemente de que en la actualidad hay sistemas axiomáticos que lo niegan, pero no es nuestro tema).

Pues bien, ciertamente el problema de la completitud no fue un problema hasta muy recientemente; hasta hace más bien poco se consideraba de cajón que cualquier rama de las matemáticas podía ser axiomatizada consistente y completamente. Si hubiera algún problema, si se encontrara alguna verdad que no cabía dentro de dicho sistema axiomático, pues bueno, se añadía algún axioma más para ampliar la capacidad del sistema (algo parecido a lo que hizo Euclides con su quinto axioma), y ya está. Siempre se podría añadir un número finito de axiomas (si tuviera que ser infinito, no tendría sentido), y así alcanzar su completitud.

Pero el caso es que no es así: «el descubrimiento de que no puede hacerse tal cosa es una de las mayores realizaciones de Gödel».