El porqué del concepto de intuición en Gödel

El hecho de que Gödel tuviera razón, y las intenciones logicistas del viejo Frege y compañía no pudieran llevarse a cabo, implica la existencia de una diferencia radical entre matemática y lógica, la cual pone de manifiesto que tratar de subsumir lo matemático en lo formal no es sino un reduccionismo insostenible. Esta situación nos lleva a indicar la existencia de dos materias distintas (aunque no desconectadas): la lógica y la matemática; es decir: ha aparecido un abismo donde Frege sólo veía una diferencia de nivel. El asunto pasa por determinar dónde situar esa diferencia radical, aunque algo hemos visto ya de eso.

Si lo pensamos bien, si un sistema real, sea el que sea, pudiese ser formalizado perfectamente, en el fondo ambos sistemas, el real y el formal, tratarían de lo mismo, serían dos sistemas isomorfos, de modo que todo lo que hubiera en uno estaría también en el otro, y viceversa. Pero ya sabemos que no es el caso. A lo más que puede llegarse es a cierta correspondencia estructural entre ambos, en el sentido de que ciertas proposiciones del sistema lógico pueden ser traducidas en proposiciones verdaderas en el real, y viceversa; pero no totalmente. ¿Qué ventajas aporta, pues, el programa logicista, a sabiendas de que nunca podrá agotar el sistema real? Básicamente que permite un cálculo más fácil, y con mayor rigor, posibilitando una aplicación en la ciencia. Pero insisto: esta formalización, que puede ser positiva, no es absoluta, dada la limitación intrínseca a todo formalismo, tal y como Poincaré ya vaticinó y Gödel demostró.

Este ‘algo más’ que hay en la matemática es precisamente lo que impide su formalización completa, porque ‘no cabe’ en el molde logicista, y es lo que tiene que ver con aquello de la ‘solidez’ de la matemática. Vimos en este post cómo a Gödel cabía calificarlo como un autor realista, aunque hacerlo en sentido platónico era problemático; y que, para comprender su postura, era interesante aproximarnos al pensamiento que Zubiri expresa en su Inteligencia y logos.

Pues bien, el concepto gödeliano que podemos emplear para la aproximación entre ambos autores puede ser el de intuición, con el cual trata de poner de manifiesto un algo más que posee el hacer matemático frente al marco de cálculo establecido por la lógica. Entender esta diferencia entre lógica y matemática puede sernos muy útil para comprender su postura.

Recordemos que lo que Gödel probó fue, en palabras que Jesús Mosterín escribió en el prólogo a la primera edición de sus obras completas que él editó, lo siguiente: «En 1931 probó que todo sistema formal que contenga un poco de aritmética es necesariamente incompleto y que es imposible probar su consistencia con sus propios medios». Esto implica ―a mi modo de ver― una idea muy importante, como es que lo lógico y lo matemático no son reducibles entre sí; o bueno, que la matemática no es reducible a la lógica, que ha sido la tendencia más acentuada durante las primeras décadas del siglo pasado. Que esto es así es lo que probó Gödel, lo que supuso, evidentemente, una buena estocada al logicismo: la lógica no es absoluta, no es completa. Y, si esto es así, si la matemática no puede ser reducida a la lógica, ello quiere decir que la matemática posee un ‘algo’ (habrá que ver qué es ese ‘algo’) que no es lógico, que no pertenece a la esfera de la lógica; y ello implica que en la matemática hay cabida para ‘algo’ de una naturaleza no lógica. Este ‘algo’ es lo que Gödel trata de establecer mediante el concepto de intuición, concepto que adquirirá matices diferentes a los de otros autores que también siguen esta línea de pensamiento como, por ejemplo, Poincaré que lo enfoca más desde el momento creativo intrínseco al hacer matemático (espero que esto lo podamos ver en su momento).