Recuperando lo visto (1 de 2)

Con todo lo visto en todos los posts anteriores ya estamos en condiciones (¡espero!) de comprender cuál fue el hilo reflexivo que siguió Gödel en su famoso teorema. Hemos ido siguiendo sucesivos pasos para su comprensión. Hemos visto cómo Gödel ha creado su sistema formal, y cómo ha establecido un método para traducir (mapear) los enunciados meta-matemáticos en ciertas sucesiones finitas de signos, en ciertas fórmulas a las cuales les corresponde siempre un número natural, su número de Gödel, obtenido multiplicando potencias de números primos según una estrategia definida previamente (un método ciertamente original). Así, todo enunciado y, por ende, toda fórmula, posee su correspondiente número de Gödel. A las demostraciones de dichos teoremas, en tanto que son también un conjunto de expresiones formales, se les puede asociar a su vez su correspondiente número de Gödel (el cual será mucho más grande, pero a los efectos de esta demostración da igual). Se trata, pues, de un sistema que es consistente, y cuyo método de verificación de los teoremas es algorítmico (Hilbert), lo cual es muy importante por lo que vamos a ver ahora.

Mediante este sistema, Gödel ha conseguido una cosa excepcional, como es que cada enunciado meta-matemático tenga como correlato su correspondiente número de Gödel. Y, viceversa: que cada número (y qué números pueden hacerlo, ya que no todos pueden) tenga como correlato su correspondiente enunciado meta-matemático. Y aquí está el meollo. Lo importante no es tanto que, partiendo de un determinado número, y yendo hacia atrás, mediante su análisis factorial, seamos capaces de alcanzar la fórmula matemática correspondiente y, por tanto, el enunciado meta-matemático; que también. Lo importante de ello es «poder ya reconocer, a través de una operación que se pueda expresar sólo con funciones recursivas, si dicho número es o no el código de una cadena que constituye un enunciado correcto, un axioma, o una demostración. En otras palabras, la posibilidad de reproducir en términos de oportunas expresiones aritméticas (aquellas que representan en el sistema dichas funciones recursivas), la recursiva decidibilidad de tales colecciones» como dice Raguní.

O sea, que, efectivamente, el conjunto formado por los números de Gödel posibles, se corresponden con enunciados meta-matemáticos demostrables; un conjunto de números de Gödel posibles, cuyos elementos se consiguen por operaciones meramente algorítmicas.

Esta idea es fundamental. No todos los números naturales son números de Gödel; sólo aquellos que son obtenidos según la metodología que ya explicamos. No todo número natural es un número de Gödel. Pues bien, lo que Gödel ha mostrado en su planteamiento es que todo número de Gödel se corresponde con un enunciado meta-matemático que es demostrable. O sea, que si el enunciado meta-matemático es correcto, le corresponden sus operaciones adecuadas en el seno de dicho sistema formal; y, lo que es más importante, viceversa: si una expresión formal es resultado de unas operaciones correctas en el seno del sistema formal, su enunciado meta-matemático correspondiente será correcto. ¡Maravilla! O sea: que algunos enunciados pueden probar otros enunciados de forma totalmente algorítmica. Evidentemente, hablamos de enunciados meta-matemáticos que tengan sentido en el seno del sistema formal; no vale cualquier enunciado que se nos ocurra, sino sólo aquellos que ―por decirlo así― posean una significatividad en el seno del sistema formal. Pero el caso es que, entre todos estos enunciados significativos en el marco del sistema, unos muy bien pueden ser verdaderos y otros muy bien pueden ser falsos; de eso se trata: de distinguir los que sean una cosa y los que sean la otra, que es para lo que nos apoyamos en el cálculo formal. Si a un enunciado podemos llegar partiendo de otros verdaderos mediante las reglas del cálculo formal, tal enunciado será verdadero, o demostrable; y viceversa.

La verdad, es que esto no deja de generarme cierta violencia: ¿cómo puede ser que enunciados lingüísticos puedan ser manejados aritméticamente? No acabo de comprenderlo hasta el fondo. Pero el caso es que aquí está el meollo del argumento de Gödel, que esta correlación entre enunciados verdaderos y fórmulas aritméticas demostrables partiendo de los axiomas verdaderos es correcta. Si lo pensamos, algo similar pasa entre lo que es la geometría dibujada y la expresión algebraica de lo que allí se dibuja: hay una correlación adecuada entre una recta dibujada en un eje de coordenadas, y su expresión matemática; del mismo modo que el punto de intersección de dos rectas está perfectamente determinado por la resolución del sistema formado por sus dos ecuaciones; etc. ¿Acaso no se puede afirmar aquí que afirmaciones geométricas verdaderas se corresponden con afirmaciones aritméticas verdaderas? ¿Acaso no llegamos en ambos casos al mismo punto como solución de la intersección? Y, ¿en qué se parece una ecuación matemática a una figura geométrica? Pues en nada. Y, si lo pensamos mejor, ¿acaso no podemos expresar mediante enunciados meta-matemáticos las ecuaciones, o mediante enunciados meta-geométricos las figuras? Pues algo de eso hay. Sin embargo, me cuesta hacerme con ello, la verdad; supongo que para hacerse con esta comprensión hasta el fondo uno tendría que haber sido matemático… pero bueno.