Cerrando el teorema de Gödel (2 de 2)

Una vez hemos acabado de ver su planteamiento estructural (en el anterior post), vamos ahora con el desarrollo del teorema. Pues bien, lo que busca Gödel es demostrar que existe por lo menos un enunciado tal que, si se cumplen las condiciones de Hilbert (consistencia axiomática y verificabilidad algorítmica), ni él ni su negación se pueden demostrar en el sistema formal (partiendo de sus axiomas y empleando las reglas definidas). O sea, que dicho enunciado es indecidible en dicho sistema. ¿Cómo hacerlo? El planteamiento fue concretar una expresión meta-matemática con su correspondiente número de Gödel, de modo que ni ella ni su opuesta fueran demostrables en el sistema formal. ¿Qué expresión fue ésta? Nos lo explican Nagel y Newman: «Gödel mostró cómo construir una fórmula aritmética G que represente el enunciado meta-matemático: ‘La fórmula G no es demostrable’», en el seno del sistema formal y partiendo de los axiomas dados.

Si nos fijamos, estamos en el caso de la autorreferencialidad que ya comentamos en un post anterior, es decir, queremos expresar una fórmula de una expresión metida dentro de sí misma. De este modo, si tenemos una fórmula cuyo número de Gödel es h, quedaría así: la fórmula cuyo número de Gödel es h, no es demostrable.

Vaya por delante que la proximidad entre este planteamiento y el que vimos cuando hablamos de la paradoja de Richard es evidente. El mismo Gödel se hizo eco de ello, siendo consciente de que G es construido de manera análoga a como se definían los números richardianos; pero recordemos que el planteamiento de Richard era falaz en tanto que empleaba enunciados no meta-matemáticos, sino extra-matemáticos, que es una de las condiciones que hemos supuesto en el planteamiento de Gödel (que los enunciados sean ‘significativos’ en el seno del sistema formal). Y hay otra diferencia importante: el resultado de Richard fue llegar a una paradoja, precisamente afirmando que un número era a la vez richardiano y no richardiano; aunque Gödel utiliza un argumento similar y obtiene un resultado similar, como él no utiliza enunciados extra-matemáticos ajenos al sistema formal, sino enunciados meta-matemáticos decidibles en dicho sistema, ese resultado análogo de que G y ~G son demostrables a la vez no nos lleva a una paradoja, sino a la demostración de su teorema. Y esto, ¿por qué? Llegando a este resultado, se concluiría que el sistema es inconsistente, porque un enunciado y su opuesto son demostrables, lo cual no es posible; pero una condición de partida era la consistencia del sistema axiomático, ya que, si el sistema axiomático no fuera consistente, nada de lo que estamos diciendo tiene sentido. Y, si efectivamente el sistema axiomático es consistente, sólo cabe la conclusión de que ni G y ~G pueden derivarse en el cálculo formal (ya que, en definitiva, pueden demostrarse ambas); o, dicho de otro modo, sólo cabe la conclusión de que hay por lo menos un enunciado indecidible: G. Espero que se entienda la diferencia.

Dicen Nagel y Newman: «Así, si la aritmética [el sistema formal] es consistente, G es una fórmula formalmente indecidible». El razonamiento que lleva a esa indecidibilidad es interesante. Partimos de un conjunto de axiomas que se suponen verdaderos; entonces, todos los enunciados que se puedan derivar formalmente de ellos serán también verdaderos. Ahora bien, aún no sabemos si nuestro enunciado G es verdadero o no. Veamos las dos opciones, que sea falso y que no. a) Si G es falso, la afirmación ‘la fórmula G no es demostrable’ es falsa, luego entonces, G es demostrable. ¿Qué tendríamos entonces? Pues un enunciado falso, y demostrable, lo cual no tiene sentido. b) Si G es verdadero, la afirmación ‘la fórmula G no es demostrable’ es verdadera, luego entonces, G no es demostrable. ¿Qué tendríamos entonces? Pues un enunciado verdadero, y no demostrable, lo cual tampoco tiene sentido.

Vemos cómo ni G ni ~G son demostrables en el seno del cálculo formal, lo cual es una contradicción. Pero, entonces, ¿cómo sabemos que G es verdadero?, porque mediante la operatividad aritmética hemos visto que no lo podemos saber. De nuevo entra en juego esa correlación entre lenguaje aritmético y enunciados meta-matemáticos; porque, efectivamente, no podemos demostrar aritméticamente la verdad de G, pero el caso es que sí se puede hace meta-matemáticamente. Dicen Nagel y Newman: «(…) a pesar de que la fórmula G es indecidible si los axiomas del sistema son consistentes, puede mostrarse, sin embargo, mediante un razonamiento meta-matemático que G es verdadera. Esto es, puede mostrarse que G formula una compleja pero definida propiedad numérica que necesariamente es válida para todos los enteros», asunto que personalmente se me escapa. De este modo, sabiendo por argumentos meta-matemáticos que G es verdadero, no hemos podido demostrarlo algorítmicamente partiendo de los axiomas de la aritmética.

O sea: G es verdadera (meta-matemáticamente) y es indecidible (aritméticamente). Con esto llegamos a la conclusión de que es un sistema consistente, pero incompleto. Recordemos que un sistema era completo cuando todas las proposiciones verdaderas que pudieran expresarse formalmente en el sistema son formalmente deducibles de los axiomas; y que, si no era el caso, el sistema era incompleto. Pues esto es lo que hemos demostrado: que el sistema (consistente) era incompleto.