La paradoja de Richard

En 1905 Jules Richard elaboró una famosa paradoja conocida por su nombre, la paradoja de Richard, que trajo de cabeza a los matemáticos de la época, aunque a la postre se mostró que su planteamiento no era correcto (enseguida diremos por qué). Nuestro interés en ella reside no tanto en la paradoja en sí, como en el hecho de que Gödel utilizó una estrategia similar para su famoso teorema. Así que, introducirnos en ella nos ayudará —así lo espero— a comprender mejor el teorema de Gödel.

Lo que planteó Richard fue lo siguiente. Consideremos cualquier lenguaje actual, por ejemplo, el castellano, en el que podamos expresar las propiedades aritméticas de los números cardinales. Cada una de estas propiedades las podemos expresar en ese lenguaje (de hecho, es algo que todos hacemos al explicar y aprender las matemáticas) sencillamente definiéndola. Un ejemplo de ello sería expresar lingüísticamente lo que es un número primo: “un número es primo si no es divisible por ningún otro excepto él mismo y el 1”. Ésta sería una de esas definiciones. Tendremos así una relación más o menos extensa de propiedades aritméticas expresadas en castellano, una relación más o menos extensa de definiciones matemáticas.

Cada una de estas definiciones tendrá un número finito de palabras, así como un número finito de letras. En base a este número, podemos ordenar las definiciones de más corta a más larga. En el caso de que dos definiciones coincidan en su longitud, las podemos ordenar alfabéticamente. Una vez hecho esto, tendremos todas las definiciones de que disponemos debidamente ordenadas en una gran lista, cada una de ellas situada en una posición concreta, la cual podemos numerar según los números naturales. Así, cada número representará su respectiva definición: la definición número 1 será la más corta, la definición número 2 será la siguiente, etc. A cada número natural le irá asociada una y sólo una definición.

Se puede dar el caso de que, el número que se corresponda con una definición, cumpla en sí mismo lo definido en dicha definición. Por ejemplo, si la definición de número primo ocupase el puesto 16, no ocurriría esto, pues el número 16 no es primo; pero si ocupase el número 17 sí, pues el número 17 sí lo es. Se da la coincidencia que la posición que la definición de número primo ocupa en dicha relación ordenada cumple lo que ella misma define. Pues bien, en este ejemplo, el número 17 es no richardiano, por cumplir aquello que define su definición; cualquier otro número que acompañe a una definición que no se cumple en él, será un número richardiano (como el número 16 de nuestro ejemplo).

En palabras de Nagel y Newman: «definimos ‘x es richardiano’ como abreviatura de ‘x no posee la propiedad designada por la expresión definitoria con la cual x está relacionado en el grupo de definiciones ordenadas sistemáticamente’».

Llegamos al punto en el que podemos enunciar la paradoja. Acabamos de definir una propiedad de los números enteros: la de ser richardianos. Entonces, esta definición ocupará su lugar en esa relación de definiciones que acabamos de realizar. Y en tanto que ocupa un determinado lugar en esa relación, irá acompañado de su respectivo número entero. Supongamos que la posición que ocupa la definición de un número richardiano en dicha relación es el número n. Es lícito preguntarnos si n es richardiano o no. Y es aquí donde aparece el problema. ¿Por qué?

Pensémoslo. El número n sería richardiano si, y solo si, no posee la propiedad definida por la definición a la que acompaña que, en su caso, es la de ser richardiano. Pero, para ser richardiano (según dice la definición) no debe poseer la propiedad que define la definición. Luego n es a la vez richardiano y no richardiano, «de tal modo que el enunciado ‘n es richardiano’ es, al mismo tiempo, verdadero y falso». ¿Cómo dar explicación a esta paradoja?

Como decía, esta conjetura hoy no se acepta porque, de alguna manera ‘hace trampas’. El fallo está en que, en principio, debemos definir propiedades aritméticas de los números; pero la definición de ser richardiano implica nociones extra-matemáticas, es decir, nociones que van más allá de su pura matematicidad, como, por ejemplo, el número de letras que acompañan a una frase, su ordenación alfabética, etc. Y esto no es lícito. ¿Qué conclusión cabe obtener? Pues que ‘la construcción de la paradoja de Richard es claramente falaz’.

Lo importante para nosotros es fijarnos en el procedimiento que realiza este matemático para construir su conjetura, el hecho de asignar un número a un enunciado lingüístico. Es decir, hay como un reflejo de una relación expresada de una determinada manera en otra expresada de otra manera: es lo que se conoce como mapeo.