La aritmetización de un enunciado meta-matemático especial

Partiendo de lo establecido en el anterior post, pensemos en el siguiente enunciado meta-matemático, el cual ya nos irá haciendo sonar, después de tan largo camino, al famoso teorema de Gödel. Es sabido que, en el ámbito de las matemáticas, cuando se quiere demostrar un teorema, se realiza una serie de pasos partiendo de los ya conocidos y demostrados, junto con las reglas de transformación, etc. Podemos decir entonces que esa determinada secuencia de fórmulas es efectivamente la demostración de una fórmula dada, la que se quiere demostrar. Y ya sabemos, también, tal y como hemos estado viendo a lo largo de esta serie de posts, que, tanto la fórmula a demostrar, como la secuencia de ecuaciones que hemos empleado para la demostración, pueden contar con su correspondiente número de Gödel. Pues bien: llamemos ‘z’ y ‘x’ respectivamente a los números de Gödel correspondientes al teorema que queremos demostrar y a la secuencia de ecuaciones que hemos empleado para la demostración. Todo esto que hemos dicho, podríamos enunciarlo meta-matemáticamente del siguiente modo: ‘La secuencia de fórmulas con el número de Gödel x es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’. Y, como dicen Nagel y Newman, este enunciado meta-matemático que acabamos de hacer es perfectamente expresable según el lenguaje de Gödel, ya que «esta proposición es representada (o reflejada) por una fórmula definida en el cálculo aritmético que expresa relaciones puramente aritméticas entre ‘x’ y ‘z’».

Ciertamente, estos números de Gödel, sobre todo ‘x’, serán muy elevados, pero bueno, números de Gödel son. Esta relación entre ambos la expresa Gödel como una función, pero en vez de utilizar la expresión tan común f (x, y), la expresa como Dem (x, z). Esta expresión, Dem (x,z), expresa la relación aritmética resultante del mapeo de la relación meta-matemática anteriormente expresada sobre el lenguaje de Gödel. Es decir: expresa la traducción del enunciado meta-matemático en términos aritméticos según el lenguaje de Gödel.

Llegamos aquí a un punto importante, porque este mapeo nos permite saber si el enunciado meta-matemático que acabamos de hacer es verdadero o no, demostrando aritméticamente que la relación Dem (x,z) es lógicamente cierta dentro de los parámetros del sistema. O, dicho al revés: sabiendo que el enunciado meta-matemático es cierto, se puede afirmar que la expresión Dem (x,z) será aritméticamente lógica. La verdad, es que esto que realiza Gödel me parece espectacular, en el sentido de que ha sido capaz de poder mapear enunciados meta-matemáticos (que no sean ambiguos) en un sistema formal; es decir: ha sido capaz de traducir expresiones lingüísticas en expresiones aritméticas, lo que no deja de ser sorprendente. Ciertamente, a un servidor le faltan herramientas para poder hacer una crítica a todo esto, aunque entiendo que, por lo que poco que comprendo, me parece ciertamente eso: espectacular.

Ya para acabar, sólo notar que, del mismo modo que hemos expresado el enunciado meta-matemático ‘la secuencia de fórmulas con el número de Gödel x es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’ ―y que hemos expresado aritméticamente como Dem (x,z)―, también podemos decir su opuesto, ¿no?, a saber: ‘la secuencia de fórmulas con el número de Gödel x no es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’, en cuyo caso su expresión aritmética será ~Dem (x,z). Esto que digo no es gratuito, sino que será un tipo de enunciado que Gödel va a emplear en su teorema.