Diversas demostraciones del teorema de Pitágoras

Releyendo un libro del premio Nóbel Frank Wilczek, El mundo como obra de arte, me detuve en unas páginas que dedica al famoso teorema de Pitágoras. Vaya por delante que, más allá de su significación geométrica, lo que de verdad deslumbra fue su interpretación, pues, por primera vez en la historia del pensamiento, se habló de una lectura matemática de la naturaleza, se dio con un orden matemático subyaciendo al de la geometría en este caso, al de la realidad en general, idea que resurgirá con fuerza en la ciencia moderna. Lo primario era el número, fundamento de las formas y de los tamaños de las cosas que existen en la naturaleza. Pero bueno, lejos de reflexionar sobre ello, hoy quisiera detenerme en un par de demostraciones que, a mi modo de ver, son sugerentes, y ayudan a enriquecer la creatividad. El modo más clásico de demostrarlo consiste en levantar sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, un cuadrado; la demostración es muy sencilla si se consigue que los tres lados tengan una longitud entera, por ejemplo, 3, 4 y 5 unidades. También estuvimos viendo en este post cómo se podía llegar a él desde un teorema de Ptolomeo, y su relación con el número áureo.

Pero hay otros. Hay un relato de Aldous Huxley, El joven Arquímedes, en el que emplea un método más intuitivo, pero que también da resultado. El asunto pasa por dibujar dos cuadrados iguales, en cuyo seno quepan cuatro triángulos rectángulos iguales (de lados a, b y c), a los que hay que añadir, en el primer caso un cuadrado, y en el segundo dos, tal y como se puede apreciar en la figura.

Se comprueba en ella que, el lado del cuadrado grande es, en ambos casos, a+b; por lo que, evidentemente, ambos cuadros tienen la misma superficie. Si esto es así, si los cuadrados grandes tienen la misma superficie, y si los cuatro triángulos rectángulos también, el resultado de restar a la primera la suma de los segundos también tiene que ser la misma. ¿Qué nos queda entonces? Pues que la superficie del único cuadro inscrito en el primer cuadrado (c²), es igual a la suma de los dos cuadros inscritos en el segundo (de superficies respectivas a² y b²). Se cumple así que c²=a²+b². Ingenioso, ¿no?

Otro proceso de demostrarlo muy similar a éste, lo encontré en un tweet que me llegó. Consiste sencillamente en, partiendo de la distribución de uno de los cuadrados grandes, ir desplazando los triángulos rectángulos hasta alcanzar la distribución del otro. Según parece, esta demostración data del año 200 a.C. y fue encontrado en un texto chino, como reza el mismo tweet:

Wilczek explica otra demostración que le es atribuida al mismo Einstein quien, en sus Notas autobiográficas, dice algo al respecto, aunque el propio autor no ha encontrado una explicación firme. Se apoya en una propiedad de los triángulos semejantes. Triángulos semejantes son aquellos cuyos lados son proporcionales dos a dos, manteniendo sus ángulos homólogos iguales. Que son proporcionales dos a dos quiere decir que su razón es la misma para cada par de lados homólogos. En el caso de la imagen, se cumpliría que AB/DE = AC/DF = CB/FE. Pues bien, la propiedad a la que hacíamos referencia es aquella que dice que la relación entre las superficies de dos triángulos semejantes es proporcional al cuadrado de la relación entre los lados; es decir: S1/S2 = (AB/DE)².

Con esta idea ya podemos ir a nuestro teorema. En el caso de dos triángulos rectángulos se observa que son semejantes cuando dos ángulos homólogos (que no sean los rectos) son iguales, ya que el tercer ángulo será necesariamente el mismo. Pues bien, tomemos un triángulo rectángulo cualquiera, por ejemplo, el ABC de esta otra figura, y tracemos la altura correspondiente a su hipotenusa, que será el segmento AE. Nos aparecen así dos triángulos inscritos en el primero (AEC y ABE), los cuales son semejantes entre sí, pues sus ángulos 𝛼 y 𝛽 coinciden.

Tenemos así tres triángulos rectángulos semejantes: el grande, y los dos pequeños incluidos en el grande, cuyas superficies serán proporcionales al cuadrado de las relaciones de sus lados homólogos, por ejemplo, de sus hipotenusas (no hay que notar que las hipotenusas de los dos triángulos pequeños son los catetos del triángulo inicial más grande). Pues bien, si las hipotenusas son, de más pequeña a más grande, CA, AB y CB, las superficies serán proporcionales a CA², AB² y CB². Y, como la suma de las superficies de las más pequeños es la superficie del grande, se tiene que CA² + AB² = CB².

Añado una última, una animación gráfica, que es muy simpática y también muy ilustrativa, que encontré en este tweet.