La originalidad del teorema de Gödel

El método axiomático ha sido empleado frecuentemente para formalizar la matemática. Verdaderamente, esos pocos principios axiomáticos en que se basa todo sistema formal poseen un poder extraordinario, en el sentido de su capacidad de desarrollo racional, de la cantidad de teoremas de todo tipo que brotan de esa pequeña y poco numerosa semilla inicial. Tanto es así que se llegó a suponer que con un conjunto axiomático inicial suficiente, podían abarcarse todas las verdades inherentes a al ámbito de trabajo en el que se situaban, y que se trataba de formalizar.  Ésa fue la propuesta que realizó Hilbert con su famoso programa, para resolver el enfrentamiento entre construccionistas y formalistas. Incluso Arend Heyting, en un congreso celebrado en Königsberg en el año 1930, y en representación de la escuela intuicionista (próxima al construccionismo), dio por terminada la polémica al aceptar la propuesta hilbertiana como el camino que debía seguir la investigación matemática. Sin embargo, hubo un joven matemático que dio al traste con tales pretensiones, un tal Kurt Gödel, quien afirmó que acaba  de demostrar que el programa de Hilbert era irrealizable.

Gödel nació en la ciudad checoslovaca de Brno en 1906; estudió en Viena doctorándose en 1930. Emigró a EEUU cuando la ocupación nazi de Austria, donde enseñó en Princeton. Gödel se hizo eco de que, con la aparición de las geometrías no euclidianas, el esquema axiomático que venía del viejo Aristóteles, y que Euclides inmortalizó, comenzó a resquebrajarse. La verdad de los teoremas ya no era algo tan evidente. La corriente logicista (Frege, Russell y Whitehead, Hilbert) surgió como salida de esta situación: su idea salvadora era formalizar rigurosamente todos los enunciados, tal y como explica el profesor Mosterín. Esto es lo que trataron de hacer Russell y Whitehead con sus famosos Principia Mathematica, o el mismo Hilbert con su programa logicista: de lo que se trataba era de traducir los teoremas matemáticos a una serie de signos dispuestos según filas, que debían tener ciertas propiedades como la consistencia, la completitud y la no contradicción. Surgieron dos problemas: el primero ―como veremos― consistía en probar la consistencia absoluta del sistema axiomático; el segundo, la posibilidad de formalizar de modo completo las matemáticas, problema sobre el cual pronto surgieron dudas incluso por parte del mismo Hilbert quien, junto con Ackerman, publicó en 1928 un trabajo expresando sus dudas de «si los cálculos deductivos podían llegar a ser semánticamente completos». Nuestro protagonista, Gödel, resolvió positivamente el primero en 1930, formulando el ‘principio de completitud de los cálculos deductivos’, dando pábulo a una euforia generalizada. Euforia que pronto desapareció al año siguiente, cuando probó que «es imposible formalizar la aritmética y que tampoco es posible probar la consistencia de esta formalización», resultado al que llegó convirtiendo los signos de Hilbert en números naturales. De alguna manera, esto supuso el final del sueño logicista que en su día inició Frege.

Ello no quiere decir que la lógica no sea útil ni sea beneficiosa (como Poincaré se encargará de decir con insistencia, siendo un autor anti-logicista), sino tan sólo se puso de manifiesto una limitación interna del formalismo lógico, estableciendo una diferencia radical entre lógica y matemática. El mismo Poincaré ya preanunció de alguna manera los trabajos de Gödel, poniendo de manifiesto dos consideraciones. La primera, es que, fiel a su espíritu formalizador, su paso primario y fundamental, la elección de los axiomas, no respondía a un proceso formal, sino que era ajeno al mismo: se corresponde ―en palabras suyas― a cierto instinto, el mismo que en definitiva guía al matemático, expresado en leyes «que se sienten y no se enuncian», dice en Ciencia y método. Aunque más nos interesa a nosotros la segunda, y que tiene que ver con el concepto hilbertiano de demostración. Hilbert entendía que una demostración no era sino un objeto matemático más, y que, como todos los demás objetos matemáticos, debían ser expresados formalmente, por postulados. «Ello implicaría la necesidad de demostrar que tal objeto es no contradictorio [como acontece a todo objeto existente en el sistema formal], pero la noción ‘demostración’ por medio de su definición implícita, es imposible de conocer, ya que tal definición está compuesta de signos sin significación. Por lo cual, y ello es fundamental, carece de sentido saber si una demostración conduce o no a una contradicción y, por otro lado, no puede demostrarse que la demostración es un objeto matemático salvo petición de principio o salida del sistema formal», dice Lorenzo. Todo ello nos lleva a la consecuencia de que es imposible realizar una demostración de la consistencia de un sistema formal en el interior de dicho sistema formal, que será lo que Gödel demostrará. Vamos a verlo.

Con la publicación de “Acerca de proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados” (obra monumental publicada previamente por Russell y Whitehead sobre la lógica matemática y sus fundamentos), Kurt Gödel demostró que dicha pretensión no era sostenible. Russell puso de manifiesto en su día las limitaciones de las aspiraciones de Frege, que compartían; de hecho, tanto él como Whitehead pensaban que lo habían superado, demostrando efectivamente que, en un sistema formal consistente, podían ser expresadas (podían decirse) todas las proposiciones verdaderas: en esto consiste la decidibilidad. La decibilidad es aquella propiedad de los sistemas formales en virtud de la cual, para cualquier fórmula expresada en el lenguaje del sistema, puede determinarse por algún método si dicha fórmula es demostrable o no él, es decir, si pertenece o no al conjunto de todas las verdades que puedan ser expresadas en dicho sistema; o dicho por el mismo Gödel: si se puede determinar «si cada una de las fórmulas aceptables es o no demostrable en él».  Para comprenderlo mejor, otra forma de decirlo es que siempre podemos encontrar en el sistema una secuencia finita de pasos para llegar a cualquier fórmula, independientemente de que esos pasos sean muchos, muchísimos, pero nunca infinitos, claro.

Cuando esto no ocurre, cuando haya algunas expresiones o fórmulas a las que no se puede llegar así, cuando exista alguna fórmula cuyo carácter de verdad no pueda ser demostrado, será una fórmula ‘independiente’ y, por tanto, el sistema será ‘no decidible’ o indecidible; en este caso, el único modo de incorporar esta fórmula independiente al conjunto de verdades del sistema es estableciéndola como un axioma (como hizo Euclides con su quinto postulado, o también como ocurre con el axioma de elección en la teoría de conjuntos). Decir que en un sistema todos sus enunciados son decidibles es, en el fondo, lo mismo que decir que es completo. En un sistema completo no tiene sentido aumentar el número de axiomas pues, en ese caso, se transformaría en inconsistente, el nuevo axioma sería ocioso al no poder ser sino ‘dependiente’ del resto de teoremas y axiomas del sistema.

Pues bien, el destino de Russell fue el mismo que el de Frege, es decir, esperar a que viniera otro autor (Gödel, en este caso) que hiciera ver que esto no puede ser: que un sistema formal consistente no es completo, ya que hay proposiciones verdaderas que son indecidibles. Ello supuso un hito importantísimo ya no en el ámbito de las matemáticas sino del pensamiento en general, por las repercusiones filosóficas que poseía. Lo que venía a decir Gödel es que ningún sistema axiomático puede absorber en su despliegue todas las verdades que cabrían en el ámbito de conocimiento definido por él, que habría verdades que no serían axiomatizables en dicho sistema. Esto supuso un claro golpe a las pretensiones racionalistas del conocimiento derivadas de la Ilustración: la todopoderosa razón no podía conocerlo todo, no era posible llegar a una sistematización total de un determinado ámbito del conocimiento. El proyecto de Hilbert que para el ámbito de la lógica proposicional parecía fructífero (tal y como apuntaban Russell y Whitehead) se mostró infructuoso cuando se intentó extender a la totalidad de la aritmética.

¿Cuál fue la aportación de Gödel? En palabras de Nagel y Newman, «que es imposible dar una prueba meta-matemática de la consistencia de un sistema, que sea bastante amplia como para contener la totalidad de la aritmética —a menos que la prueba misma emplee reglas de inferencia que, en ciertos respectos esenciales, sean diferentes de las reglas de transformación usadas para derivar los teoremas dentro del sistema». Si recordamos, vimos aquí cómo Hilbert estableció cuatro condiciones que debía cumplir un sistema axiomático: a) el sistema debe ser consistente; b) toda demostración debe poder realizarse en una cantidad finita de pasos; c) dado cualquier enunciado P, o bien él o su negación deben ser demostrables en el marco axiomático; y, d) la consistencia de los axiomas (primera condición) debe ser verificable en una cantidad finita de pasos. 

 Pues bien, lo que Gödel vino a decir es que, si se cumplen las condiciones a) y b), la tercera nunca se podrá cumplir; es decir, que cualquier base axiomática en el seno de la cual pueda desarrollarse la aritmética es esencialmente incompleta; o sea, que «dado cualquier grupo consistente de axiomas aritméticos, hay enunciados aritméticos verdaderos que no pueden derivarse del grupo».

Ciertamente la idea es compleja. Peña Páez lo explica así: «El teorema de incompletitud establece que es imposible que alguien al mismo tiempo pueda establecer un sistema bien definido de axiomas y reglas; y percibir con certeza matemática que todos los axiomas y reglas son correctos y contienen a toda la matemática». Que un sistema formal sea consistente no implica que sea completo y decidible. Para comprender esto, podemos utilizar la conocida como conjetura de Goldbach: se trata de un enunciado que puede ser verdadero, y que no puede derivarse de los axiomas aritméticos. Esta conjetura dice que todo número par puede ser expresado como la suma de dos números primos. El caso es que, hasta la fecha, siempre se ha cumplido, no se ha encontrado ningún número par que no pudiese descomponerse en la suma de dos números primos; pero nadie ha podido probar que esto sea algo que se vaya a cumplir para todo número par, sin ninguna excepción. Podría pensarse que, aumentando el sistema axiomático, podrían hacerse demostrables aquellos teoremas (como la conjetura de Goldbach) que, en el sistema original, eran indemostrables. Pues bien, lo que viene a decirnos Gödel es que, por mucho que modifiquemos o ampliemos el sistema axiomático original, nunca podremos demostrar todos los enunciados verdaderos que puedan ser dichos en ese sistema. «Esto es, incluso si los axiomas de la aritmética se aumentan con un número indefinido de nuevos axiomas verdaderos, siempre quedarán otras verdades aritméticas que no son formalmente derivables del grupo aumentado de axiomas».

Lo interesante de la cuestión (y que, en definitiva, es lo que me llevó a escribir esta serie de posts) es saber cómo se las apañó Gödel para llevar a cabo su demostración. Porque claro, en el intríngulis de su demostración hay dos elementos clave: el primero que hemos comentado (que de cualquier conjunto de axiomas no pueden demostrarse todas las proposiciones verdaderas de dicho ámbito); y el segundo que, no se trata sólo de que una determinada verdad no se pueda obtener partiendo de dicho grupo de axiomas, sino que aunque añadamos todos los axiomas que queramos al grupo inicial, siempre habrá verdades que se nos escaparán. Y esto, ¿cómo se demuestra? En el fondo el teorema presenta el doble carácter de matemático y metamatemático al mismo tiempo, en el sentido de que son teoremas demostrados matemáticamente, pero a la vez dicen algo sobre la naturaleza de las matemáticas, lo que no deja de llamarme poderosamente la atención.

La explicación de Nagel y Newman, aunque en principio asequible para todos los lectores, no deja de ser un tanto complicada (por lo menos para mí). Lo que hizo Gödel fue elaborar su teorema siguiendo una estrategia similar a la que siguió Jules Richard para formular su famosa paradoja en 1905. Hoy en día se considera que esta paradoja está planteada equívocamente, por lo que no es aceptada. Pero el caso es que plantea un modo de trabajar interesante, y que fue en definitiva el que siguió el propio Gödel, como digo. Así que, nuestra siguiente parada será conocer esta paradoja, para introducirnos en la metodología que es conocida como mapeo.