Las bondades de la metamatemática

En un post anterior establecíamos la distinción entre matemáticas y meta-matemáticas, es decir, entre el contenido del discurrir matemático y aquello que se podía decir sobre dicho contenido, sobre dicho discurso. Esta distinción que hoy en día puede parecernos más o menos evidente, no lo era hasta no hace demasiado. Y si nos puede parecer hasta nimia, no lo es en absoluto, pues ello ha introducido la posibilidad de establecer una mirada crítica a los procesos mediante los cuales los matemáticos hacían matemáticas. Hasta la fecha, los procesos matemáticos estaban fuertemente influenciados por los conceptos comunes según los cuales nos relacionamos con la realidad, pero en el momento que dicha transferencia ya no está legitimada porque nos hemos ocupado de deslegitimarla por definición, los elementos que son utilizados en el discurso matemático están despojados de su significado habitual para adquirir aquel que está definido por los axiomas y por los criterios con que se han formulado los mismos.

Hoy en día estamos acostumbrados a escuchar expresiones del tipo meta-‘lo que sea’: meta-lenguaje, meta-comprensión, meta-psicología, meta-materiales… Por ello no nos es extraño diferenciar entre los sistemas formales que construyen los matemáticos (las matemáticas propiamente dichas) y la descripción, la discusión y la teorización acerca de los mismos, todo lo cual es incluido hoy en día en el campo de las ‘meta-matemáticas’. Pero esto es algo, como digo, bastante reciente; y hasta la fecha ha sido frecuente que los mismos matemáticos (al compartirse los significados de su reflexión matemática con los que usualmente les son atribuidos en la realidad) confundieran ambos ámbitos, y pensaran hacer matemáticas cuando únicamente estaban teorizando, discutiendo sobre ella, lo que ha dado lugar a no pocos problemas. La gran ventaja de esta distinción ha sido la de suprimir del cálculo estrictamente matemático todo aquello que no era específicamente matemático (como suposiciones ocultas o asociaciones indebidas); por otra parte, ha supuesto una depuración del ejercicio matemático por el esfuerzo que conlleva definir bien todo el sistema en términos estrictamente formales. De hecho, el programa de Hilbert tiene su origen en el debate abierto por el constructivismo ante los ‘excesos’ formalistas: frente a la postura constructivista que desestima algunos conceptos formalistas, Hilbert no está de acuerdo, proponiendo en la década de 1920 una alternativa, que cristalizó en la publicación de varios artículos, dando entrada a la metamatemática. Su objetivo no sería otro que contrastar la validez de los teoremas matemáticos, tratándolos como meras secuencias de símbolos, sin significado semántico, susceptibles de ser tratados mediante las reglas algorítmicas.

Y por aquí derivó la idea de Hilbert (que comentaba en el anterior post): en formalizar el lenguaje matemático, entendiendo que la empresa de reconducir disciplinas matemáticas a sistemas formales revestidos de un ‘traje axiomático’ era viable, convirtiendo las expresiones matemáticas en secuencias de símbolos sin significado explícito. Partiendo de ahí, se podrían identificar los elementos y las reglas que se deben seguir en las deducciones, etc., creando así un entramado estructural formal a partir del cual no pudieran generarse enunciados ni formulaciones contradictorias, o inconsistentes: los enunciados matemáticos serían tratados como una mera secuencia de símbolos sin más significado que el que tuvieran según las reglas con que se ha constituido dicho sistema formal, los cuales ya estaría en condiciones de ser manipulados en él. Ciertamente, estos sistemas serían complicados e incomprensibles en muchos casos porque, semánticamente, serían accesibles sólo por medio de sus reglas gramaticales y transformacionales, sin significado alguno cotidiano. Motivo por el cual no parecía sensato del todo renunciar a una ‘comprensión semántica’, espontánea, de operadores, entes, propiedades, etc. Esta comprensión semántica cotidiana no debía ser la principal, pero no podría tampoco renunciarse a ella del todo. Hilbert pensaba que, con la metamatemática, se podría averiguar qué razonamientos matemáticos eran válidos o no.

Como dice Morales Medina, el programa de Hilbert proponía que los axiomas para la aritmética debían cumplir cuatro condiciones, a saber: a) el sistema debe ser consistente; b) toda demostración debe poder realizarse en una cantidad finita de pasos; c) dado cualquier enunciado P, o bien él o su negación deben ser demostrables en el marco axiomático; y, d) la consistencia de los axiomas (primera condición) debe ser verificable en una cantidad finita de pasos. El carácter finito era importante, y ello en dos ámbitos: en el de la expresión de una proposición (que debía emplear un número finito de símbolos) así como en la expresión de una demostración (que debía emplear un número finito de pasos, o de proposiciones); no tenía sentido plantear proposiciones con un número infinito de símbolos, o demostraciones con un número infinito de pasos, pues en ambos casos parece razonable exigir que una proposición pueda ser expresada y una demostración realizada, para lo cual es preciso poder alcanzar su conclusión. No menos importante es su consistencia o ausencia de contradicción.

En este empeño formalizador tuvo un papel relevante Boole en 1847, pero sobre todo Russell y Whitehead con sus Principia Mathematica en 1910, apoyándose en los trabajos previos de Gottlob Frege. Lo que pretendía este autor era mostrar que todas las nociones aritméticas pueden derivar de ideas y procesos puramente lógicos, al hilo de lo que estamos viendo; es decir que, efectivamente, cualquier teorema se pudiera deducir mediante la aplicación de unas reglas de deducción partiendo de unos pocos axiomas iniciales. Russell y Whitehead pusieron de manifiesto claramente esas insuficiencias que ya denunciaba Hilbert en referencia a lo frecuente que era que una deducción matemática se ‘contaminara’ con elementos meta-matemáticos. Evidentemente, el uso de estos elementos contaminantes por parte de los matemáticos hasta la época se hacía de modo inconsciente, y no ha sido hasta estos años que se ha evolucionado lo suficiente como para ponerlos en evidencia. Por ejemplo, se detectan casos así en la geometría euclidiana, la cual llevaba en vigor sin ningún problema cerca de dos mil años: la lógica tradicional es incompleta, e incluso fracasa a la hora de explicar razonamientos matemáticos que hoy en día son considerados elementales.

Sin embargo, esta pretensión de reducir la consistencia de los sistemas matemáticos a la consistencia formal lógica de sus procesos no ha triunfado, y sucesivas investigaciones han puesto de manifiesto que la pretensión de Frege y Russell no ha sido ‘la’ respuesta al problema planteado. Sin embargo, su trabajo no ha sido en balde; como suele ocurrir, el esfuerzo realizado, aunque no alcanzara su objetivo, ha proporcionado elementos de notable valor, en este caso estos dos: a) la formalización del razonamiento matemático, y b) la relación de todas las reglas y normas inferenciales formalmente empleadas en las demostraciones y deducciones matemáticas. Los Principia Mathematica de Russell y Whitehead contribuyeron en definitiva, así como los trabajos de Frege, a la posibilidad de crear un cálculo matemático ausente de contaminaciones interpretativas, reduciendo la operatividad a transformaciones de cadenas de señales sin significado en otras cadenas de señales sin significado, de acuerdo a unas reglas establecidas.