No hay matemática sin metamatemática

Hay un problema especialmente relevante en el caso de los lenguajes formales, como es el hecho de que todo sistema formal precise de cierto valor semántico, desde el cual comprenderlo, y desde el cual elaborarlo. Todo sistema formal se crea en el marco de un sistema lingüístico ya dado; otra cosa es que se cree para ‘depurar’ a éste, tal y como ocurrió en la tradición analítico-lingüística anglosajona de finales del siglo XIX y comienzos del XX. Hay un problema que surge de modo inmediato, y que los lógicos del momento tuvieron muy presente, como es que, si los sistemas formales se crean para que el razonamiento sea más riguroso y exacto, ¿hasta qué punto no se verá salpicado por la falta de lógica y de rigurosidad silogística del lenguaje habitual? Creo que también es justo romper una lanza en favor del lenguaje habitual; lo digo en el sentido de que si bien se fundamenta en convenciones semánticas elementales, según ciertos principios básicos de ‘sentido común’, podríamos decir, no implica que no tenga ninguna lógica. Seguramente no tendrá el rigor de un silogismo lógico, pero ello no implica que su uso se deba a la mera arbitrariedad del hablante (aunque en algunos casos así sea). Nada de eso. La gran diferencia entre un razonamiento común y otro formal es que, en éste, los conceptos habituales no intervienen directamente en el razonamiento, sino que lo hacen a través de la mediación de los elementos del sistema, de modo que los teoremas se deducen a través únicamente de reglas gramaticales y deductivas muy concretas y definidas. En esto y no en otra cosa consiste la axiomatización o logificación.

Ahora bien, este proceso de axiomatización posee ciertos presupuestos que no se deben obviar, ya que necesariamente implican cierta circularidad. Ésta fue la principal crítica que Poincaré hizo al programa hilbertiano, tal y como fue enunciado al principio, en 1904. Una crítica no destructiva, sino constructiva, pero no por ello menos relevante. El error que veía Poincaré fue un problema de base, que consistía en «la pretensión de definir de modo riguroso el número ordinal mediante el empleo de signos gráficos carentes de cualquier correlato», como explica Lorenzo, pretensión que estimaba que iba a ser fallida, por entender que Hilbert estaba juntando dos planos (el material y el conceptual) en uno. Lo que Poincaré criticaba es que no había ningún vínculo a priori entre la idea que todo tenemos en mente de una unidad, y el símbolo ‘1’ mediante el cual la representamos. Haciéndose eco de ello, Hilbert aceptó la distinción de estos dos planos en el hacer matemático, y que definió así: matemática y metamatemática, haciéndose eco de la doble dimensión que Poincaré estimaba necesaria en dicho hacer. Una cosa es la matemática o la lógica como tal, y otra cosa es lo que sus símbolos significan, para lo cual precisa de una dimensión semántica que no se podría encontrar en el propio hacer matemático, sino más allá (metá) del mismo.

Démonos cuenta de que la metamatemática en tanto que comprensión lingüística (habitual) del sistema formal, no sólo interviene en la génesis de dicho sistema, sino que interviene continuamente en su uso, así como en la génesis de nuevos teoremas, los cuales pueden existir con facilidad en el pensamiento habitual (de hecho, esto ocurre generalizadamente: se piensan, y luego se trata de establecer su demostración formal).

Valga en este sentido una reflexión que realiza al respecto el físico francés de Broglie que puede ser muy esclarecedora; dice el gran científico: «Pero, aun en las disciplinas en que su empleo es posible, y con más razón en las otras, el lenguaje algebraico con su seca precisión no puede ofrecer al pensamiento científico todos los medios de expresión que le son necesarios, y, por eso, hasta en las obras más erizadas de fórmulas algebraicas, el texto en lenguaje ordinario conserva toda su importancia y permite seguir en todos sus matices el pensamiento del autor y percibir el alcance verdadero de los resultados que dicho texto expone». Efectivamente, de Broglie se hace eco del carácter eminentemente deductivo del lenguaje formal, construido de tal manera que sus conclusiones se derivan necesariamente de las premisas; si bien ese rigor es su fuerza, también es su debilidad, ‘porque lo encierra en un círculo del que no puede salir’: «el razonamiento matemático hace descubrir consecuencias que estaban ya contenidas en sus premisas sin estar en ellas aparentes; no puede, pues, dar nada más en sus conclusiones que aquello que había sido puesto implícitamente al principio en las hipótesis. ¡Si así no sucediese, es que se habría cometido alguna falta en el curso de los cálculos!».

Se ve cómo lo formal no se puede desprender tan fácilmente de su interpretación semántica, lo que nos lleva a un presupuesto fundamental, como es que una determinada interpretación pueda erigirse en un modelo correcto de nuestro sistema formal. ¿Para qué, entonces, todo este trabajo de axiomatización?, ¿vale la pena? Pues depende.