Si la aritmética es consistente, es incompleta: ecos del teorema de Gödel

En el anterior post de esta serie culminé una serie mediante los cuales trataba de comprender cuál fue el planteamiento de Gödel en su famoso teorema, así como su demostración. No estoy seguro de haberlo conseguido del todo, pero, en fin, espero haber esclarecido algunas cuestiones; por lo menos, esa ha sido mi experiencia personal, siendo como soy ajeno al mundo matemático. Aunque he de reconocer que creo que no lo he captado en toda su riqueza.

¿Y por qué fue tan importante este teorema? Como es fácil pensar, después de él ya nada fue igual, en cuanto que supuso un grave trastorno en el ámbito matemático. Podemos extraer diversas consecuencias. Démonos cuenta de que, para deducirlo, hemos tenido que contar necesariamente con la autorreferencialidad que, si bien en la paradoja de Richard fue falaz, aquí no sólo no lo es, sino que ha servido para echar por tierra, no el ‘gran sueño americano’, sino ―podríamos decir― el ‘gran sueño de todo matemático’, como dice Gutiérrez: «con este resultado Gödel echa por tierra el famoso ‘axioma de la solubilidad de todo problema matemático’ que postulaba Hilbert (y en su corazoncito cada matemático)»    . ¿Qué era lo que decía Hilbert? En un discurso de 1900 afirmó: «Es probablemente este importante hecho [se refiere a que importantes y viejos problemas finalmente han encontrado completa y rigurosa solución] junto a otras razones filosóficas lo que da origen a la convicción ―que todo matemático comparte, pero nadie hasta el momento ha apoyado con una demostración― de que todo problema matemático definido debe necesariamente ser susceptible de una exacta solución, ya sea en la forma de una respuesta concreta a la cuestión planteada, o por la demostración de una imposibilidad de su solución y por consiguiente el necesario fracaso de todos los intentos». Esperanza que su fiel discípulo Kurt Gödel se encargó de truncar, acabando con el sueño de «una matemática segura, consistente, decidible, categórica, formalizable y completa».

Pero lo importante de este teorema está en el siguiente detalle. Con él hemos llegado a la conclusión que en un teorema consistente hay por lo menos un enunciado indecidible, con lo que dicho teorema es incompleto. Pero el caso no es que ‘este’ sistema sea incompleto, sino que los sistemas consistentes, ‘todos’ los sistemas consistentes, son esencialmente incompletos.

Podríamos pensar que, si al sistema axiomático inicial, le añadimos este teorema que no habíamos podido demostrar, ‘ahora sí’ que ya abarcaríamos todas las verdades decidibles en dicho sistema. Pues no: esta estratagema no bastaría para que con dicho sistema pudiéramos suministrar todas las verdades aritméticas. Como dice Raguní, el teorema de Gödel puede aplicarse a cualquier ampliación del sistema de partida al añadirle cualquier teorema nuevo, siempre que sean respetadas sus hipótesis, y el resultado siempre será el mismo. Porque, en definitiva, se trataría de realizar una operación similar a la que hemos realizado hasta aquí, ahora con un sistema axiomático un poco más potente, pero, incompleto, en definitiva. De ello se hacen eco Nagel y Newman: «Esta notable conclusión se mantiene sin que importe cuántas veces se aumente el sistema. Nos vemos así obligados a reconocer una limitación fundamental en el poder del método axiomático. Contra hipótesis previas, el vasto continente de la verdad aritmética no puede ser llevado a orden sistemático estableciendo de una vez por todas una serie de axiomas de los cuales puedan derivarse formalmente todas las proposiciones aritméticas verdaderas».

O, lo que es lo mismo: si la aritmética es consistente, el sistema es incompleto. «Sintetizando, un sistema clásico que satisface las hipótesis del teorema de incompletitud es esencialmente incompleto: no se puede completar añadiéndole axiomas, aunque sean infinitos, mientras se conserve la consistencia y la recursiva numerabilidad del conjunto de sus axiomas», dice Raguní.

Esto nos lleva a otra conclusión importante, que dio lugar a lo que se conoce como segundo teorema de incompletitud, el cual fue formulado por el mismo Gödel (también, de modo independiente, por John von Newman). Lo que viene a decir es que, si el sistema es consistente, su consistencia no puede establecerse en el seno de dicho sistema. Baltasar Rodríguez-Salinas lo explica así: «En efecto, la formalización del primer teorema muestra que la única hipótesis sobre el sistema lógico es su propia consistencia, de modo que, si la consistencia de una aritmética suficientemente fuerte o exigente fuera demostrable dentro de esa misma aritmética, entonces la proposición indecidible sería demostrable a su vez. La consecuencia es inmediata: si la aritmética en cuestión es consistente, entonces dentro de ella misma no es demostrable esa consistencia».

Pero ojo, esto hay que interpretarlo bien. Lo que esta afirmación dice, es que no es posible probar su completitud según las reglas formales de deducción en el seno del sistema axiomático; pero nada impide que pueda haber una prueba meta-matemática de ello, o una prueba finitística fuera de la aritmética. De hecho, se han realizado pruebas meta-matemáticas de la consistencia de la aritmética, en concreto por un miembro de la escuela de Hilbert, Gerhard Gentzen (entre otros). Esto es muy importante, porque se proponen nuevos modos de aritmetizaciones de enunciados meta-matemáticos, a la vez que se depuran los modos en que se deben ir ampliando las reglas de inferencia manteniendo firme la consistencia del sistema.

El hecho de que, para poder afirmar algo sobre el sistema, en este caso su consistencia, debamos ‘salirnos’ de él, utilizando argumentos meta-matemáticos tiene unas indudables consecuencias, tanto matemáticas como filosóficas, las cuales abordaremos en breve.