La ley de √n

Una de las preocupaciones de Schrödinger, el padre de la ecuación de onda, fue establecer vínculos entre la física y la biología. Ya estuvimos hablando de su libro ¿Qué es la vida?, cuya motivación fundamental comenté aquí. En él se plantea una idea ciertamente interesante, como es por qué los seres vivos somos de una escala tan enorme en referencia a la escala atómica. Su opinión al respecto la estuvimos viendo en este post. Lo que pretendo hacer aquí es, desde este punto de partida, dar a conocer una ley muy sencilla, que nos ayuda a hacernos una idea del orden de magnitud necesario para que se comiencen a convertir los fenómenos atómicos, totalmente impredecibles, en movimientos de grupos de partículas que ya responden a leyes funcionales: la ley de √n. Para ello voy a introducir el asunto, con algunos ejemplos del propio Schrödinger, para pasar a comentar dicha ley.

Todos hemos oído alguna vez el carácter estocástico característico de las partículas atómicas y subatómicas. Los científicos hablan de que, como mucho, se pueden prever mediante determinadas leyes probabilistas los comportamientos de grandes grupos de partículas, pero no de una sola. Algo que llama la atención: probabilísticamente podemos determinar el comportamiento de una muestra de gas de un cierto tamaño, por ejemplo, sin poder llegar a determinar cuál será el comportamiento de una sola de sus partículas; cada una seguirá su camino, independientemente de que, junto con todas las demás, sí que podamos saber con un reducido porcentaje de error el comportamiento conjunto de todas ellas. Los átomos sueltos, por su parte, tienden a adoptar un comportamiento desordenado, imposibilitando describirlo mediante leyes perceptibles. «Únicamente en la cooperación de una cantidad enorme de átomos, las leyes estadísticas empiezan a ser aplicables, controlando el comportamiento de esos ‘conjuntos’ con una exactitud que va en aumento conforme al incremento de la cantidad de átomos abarcados en el proceso», dice Schrödinger.

Al respecto propone algunos ejemplos. Sabido es que, en un gas, sus moléculas siguen trayectorias erráticas deambulando por el recipiente que las contiene, sea un tubo de ensayo o el salón de nuestra casa. Además de este movimiento errático, cada una de ellas posee una vibración propia que las hace girar sobre sí mismas. Pues bien, cuando a un gas se le aplica un campo magnético, sus moléculas tienden a orientarse según dicho campo, de modo que van alcanzando una orientación paulatinamente paralela. Evidentemente, la orientación que provoca el campo se encontrará siempre con la oposición desordenadora de las propias moléculas del gas. Pues bien, ante una magnetización suave, algunas moléculas irán orientándose parcialmente y otras no, sin saber a ciencia cierta cuáles de ellas harán una cosa o la otra, ni siquiera si su orientación se acoplará al cien por cien con la del campo o sólo parcialmente.

El segundo ejemplo tiene que ver con el hecho de que, cuando tenemos en un líquido partículas en suspensión, una vez agitado y dejado reposar, vemos cómo el nivel de las partículas va descendiendo poco a poco. Y, el caso, es que cada una de esas partículas no sigue un movimiento rectilíneo hacia abajo, como sería de suponer, análogo a cuando dejamos caer una piedra desde una altura, sino que sigue una trayectoria muy irregular, descrita como movimiento browniano o de Brown. Una por una, somos incapaces de determinar sus trayectorias, pero sabemos calcular el ritmo según el cual, tomadas en conjunto, van depositándose en el fondo.

Más llamativo es el fenómeno de la difusión. Supongamos que tenemos partículas de un sólido disueltas en agua, y que se encuentran desigualmente distribuidas en un recipiente, más concentradas en un lado y menos en el otro. Sabemos que, con el tiempo, las partículas tenderán a distribuirse uniformemente en todo el recipiente. Lo que no tenemos tan claro es el motivo por el cual esto ocurre así. Tendemos a pensar que, en la zona en las que hay más partículas, algunas de éstas ‘empujan’ a sus vecinas hacia el lado más vacío, porque hay más presión.

Pero el caso es que, cada una de estas partículas, se comporta de modo totalmente independiente al del resto; es decir, el movimiento que sigue cada una es independiente de que, a su lado, haya ninguna o miles de partículas. Por demás está decir que no es posible predecir el movimiento de ninguna de ellas, el cual estará sometido al continuo choque con las partículas del agua, sin poder saber qué trayectoria seguirá. Pero el caso es que ese es el único motivo que hará que se muevan las partículas, independientemente de que haya una sola o miles. ¿Por qué, entonces, las partículas tienden a distribuirse uniformemente por todo el recipiente? El motivo es muy sencillo. Supongamos que distribuimos dicho recipiente (como el de la figura) en compartimentos verticales estrechos, de modo que cada uno de ellos posea una concentración más o menos concreta. Las partículas de cada uno de estos compartimentos, saldrán con la misma probabilidad (en su marcha azarosa) hacia la izquierda o hacia la derecha. Por este mismo motivo, si cogemos cualquier plano vertical, le llegarán siempre más partículas por la izquierda que por la derecha, pues a la izquierda están los compartimentos más cargados de partículas. En cualquier plano vertical que miremos, ocurrirá esto: siempre le llegarán más partículas desde la izquierda que desde la derecha, «y mientras subsista tal estado de cosas, el balance de los movimientos se revelará en un flujo regular de izquierda a derecha, hasta lograr una distribución uniforme», el cual se puede predecir según la ley de la difusión. Pero se puede predecir el comportamiento general, no el de cada partícula.

¿Y qué tiene que ver todo esto con la ley de √n? No podemos predecir de ninguna manera el comportamiento de una partícula; y el de grupos de partículas lo podemos predecir con cierta probabilidad, pero no con una certeza absoluta. Esta probabilidad depende del número de partículas que estamos trabajando, y se cumple de modo bastante aproximado que es del orden de √n. Si trabajamos con 100 partículas, el grado de desviación será 1/√n, es decir: 10%. Si trabajamos con un millón, será del 0’1%. Con lo que, cuanto más grande sea el número de partículas de un cuerpo, más estable y fiable será su comportamiento, en tanto que responderá a leyes cada vez más exactas. En el caso de un organismo vivo esto es muy importante, pues a éste ‘le interesa’ que tanto las leyes biológicas para su funcionamiento interno como para su relación con el entorno sean bastante exactas. Los organismos muy pequeños, como de hecho así ocurre, dependen y mucho de su interacción con el medio, influyendo incluso las partículas de éste en sus movimientos. Podemos pensar que una desviación del 0’1% es razonable pero, tal y como nos dice Schrödinger, para nada es suficiente «como para justificar que una cosa merece la honrosa denominación de ‘Ley natural’».