Euclides y la geometría

El sistema euclidiano ha sido durante siglos el sistema geométrico por excelencia, el que cualquiera de nosotros puede comprender intuitivamente porque se asemeja a nuestra experiencia cotidiana de la realidad. Sin embargo, su indiscutida hegemonía quedó truncada durante el siglo XIX, debido a una especial conciencia que tuvieron los matemáticos de su propia actividad, consecuencia de lo cual aspectos consolidados del enfoque tradicional se volvieron problemáticos; seguramente, la relación entre las propias matemáticas y la realidad fue el más importante. Ello tuvo el resultado de que el correlato entre las matemáticas y la realidad de las cosas ya no era tan evidente y, por consiguiente, insuficiente para su fundamento, obligando así a investigar un nuevo fundamento para el quehacer matemático. Algo hemos dicho ya al respecto, igual que destacamos también el importante papel en este sentido del ‘quinto postulado euclidiano’, asunto al que pretendo irme acercando poco a poco.

Euclides es una figura enigmática, de la que poco se sabe, salvo que «condujo a la matemática griega a un proceso de consolidación teórica seguramente no experimentado hasta entonces por ninguna rama del saber científico», como dice Melogno. No pocos pueblos de la época tenían conocimientos geométricos sorprendentes, aunque adolecían de cierta sistematización; tal honor recaería sobre los griegos alejandrinos, principalmente sobre Euclides. Según parece fue ateniense, formado en la escuela platónica. Por Proclo se sabe de la relevancia de Euclides en la Alejandría del año 300 a.C., seguramente trabajador en su museo que, junto con la biblioteca (con más de 400.000 rollos), suponían el centro de la vida cultural alejandrina y de los estados de la época. No cabe duda de que su obra más famosa fue los Elementos, aunque también escribió otras menos conocidas, a saber: los Datos (sobre magnitudes, formas y posiciones geométricas), Sobre la discusión de las figuras (analizando las figuras geométricas), Sobre los fenómenos (relacionado con la astronomía), e incluso una Óptica.

El hecho de que trabajara en el museo de Alejandría puso a su disposición los escritos más importantes sobre la geometría existentes en la época. Seguramente en su obra Elementos, escrita entre el siglo III y IV a. C., no todo era original suyo, si bien sí que se erigió en el primer tratado sistemático de matemáticas de la historia, culminación de la tradición pitagórico-platónica. Es necesario destacar que lo importante de este trabajo no es tanto la exposición de todos los conocimientos geométricos habidos hasta la fecha, sino su disposición deductiva partiendo de unos pocos principios.

Estos principios iniciales, las nociones comunes o axiomas, y los postulados (cuyo carácter de evidencia es diverso, lo veremos en breve), no precisaban de demostración, sino que eran evidentes por sí mismos; a partir de los cuales, mediante un conjunto de reglas, se obtenían los demás por deducción lógica: eran los teoremas. Para establecer esta sistemática Euclides tuvo que introducir las definiciones de los conceptos geométricos y matemáticos empleados (punto, recta, plano, etc.), algo que no fue realizado de modo tan completo hasta la fecha.

No fue casualidad que Euclides diera tanta importancia a la geometría: en la época era considerada superior a la aritmética, dada su capacidad para poder expresar los números irracionales, cuyo descubrimiento tantos quebraderos de cabeza supuso. En el seno del carácter místico dado a los números, un número irracional no encontraba su lugar, cuando en la geometría era fácilmente expresable (por ejemplo, la raíz cuadrada de dos como diagonal de un cuadrado de lado la unidad). Sólo la geometría era capaz de aprehender el ámbito de los números mejor que la aritmética, a la par que sus expresiones eran de un carácter más general, pues la aritmética siempre se refería a casos particulares y concretos.

Como decía, junto a definiciones, axiomas y teoremas, Euclides incluyó proposiciones de un cuarto tipo: son los 'postulados'. El carácter de estos postulados es problemático. Podrían confundirse con los axiomas o nociones comunes, pero no sería correcto pues hay algo que los distingue. Quizá la diferencia pueda establecerse en su grado de evidencia; o mejor, en el carácter de lo ahí afirmado: más general en los axiomas, más específico en los postulados. ¿Qué quiere decir esto? Se observa que la mayoría de los axiomas euclidianos no son estrictamente matemáticos, sino que se imponen a la mente que puede acceder a ellos de modo inmediato mediante la razón, motivo por el cual eran denominados inicialmente ‘nociones comunes’; parece ser que fue Proclo quien los denominó como ‘axiomas’. Por ejemplo, la primera noción común: “Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí”, afirmación que se impone por su evidencia, sin ser estrictamente de carácter geométrico. Los postulados, en cambio, sí que estarían más vinculados con lo geométrico, siendo a su vez evidentes por sí mismos, aunque quizá con menos fuerza: «Al igual que los axiomas, los postulados son afirmaciones indemostrables, pero que no poseen un valor de verdad incondicionado, ya que éste depende de su relación con el espacio», dice Pablo Melogno.

La evidencia de los postulados no se impone intuitivamente a la razón, sino que es menester una construcción geométrica para dar razón de ella. Por lo tanto, la diferencia estaría ahí: mientras que las nociones comunes son más generales, válidas para todas las ciencias, los postulados son específicos de una ciencia concreta, en este caso de la geometría: «postulados son las verdades iniciales de todo sistema axiomático y se refieren siempre a la materia concreta en la que se trabaje, mientras que noción común son verdades comunes a todas las ciencias y tomadas como obvias», concluye Espitia. Diferencia ya fue establecida por Aristóteles en los Analíticos posteriores, apoyándose en este criterio: en su grado de generalidad.