La metamatemática también es matemática

El concepto de metamatemática puede dar lugar a cierta ambigüedad. Me explico. Decíamos en el post anterior que la meta-matemática tenía que ver con las afirmaciones y comentarios que pudiéramos hacer sobre los elementos de un sistema formal: tendría que ver con lo que se pudiera decir sobre todo ello.

Pero hay otro significado más primario. Pensemos en cómo se organiza un sistema formal. O mejor, cómo se define. Consta de unos símbolos, unas reglas sintácticas y gramaticales, unos axiomas, unos teoremas, etc., en principio ajenos a nuestra interpretación habitual de las cosas, es decir, que no poseen significatividad como posee nuestro lenguaje corriente. Nos podemos preguntar si esto es efectivamente así; y la respuesta es no: «si se suprime el valor semántico en las reglas gramaticales y de deducción, se obtiene una lista de secuencias de símbolos sin significado; ¿cómo podría ésta especificar, generar, otras secuencias de los mismos símbolos?», se pregunta Raguní. De hecho, si lo pensamos, nuestra interpretación de los símbolos matemáticos no es primariamente matemática (esto es algo que, en todo caso, llegará después en el ámbito profesional, en el que ya se piensa matemáticamente), sino que es una interpretación desde nuestro campo semántico habitual.

Pero el caso es que, si no tuviéramos esa comprensión de los símbolos, ¿cómo podríamos generar nuevas expresiones, nuevos teoremas? Es preciso dotar al lenguaje formal de un contenido semántico, sin el cual se convierte en un mero juego de símbolos abstractos sin mayor aprovechamiento. Esto quiere decir que, «para estar en condiciones de desempeñar su función, que es producir nuevas proposiciones, éstas [las reglas gramaticales] deben ser necesariamente interpretadas (¡pero esta vez de manera unívoca!)». Esta interpretación de su contenido semántico se suele hacer desde el lenguaje habitual. Un lenguaje que, como hemos comprobado no pocas veces, puede ser ambiguo y confuso. Esto es un problema grave: si, para definir nuestro sistema formal, lo hacemos apoyados en el lenguaje habitual, y éste es ambiguo y confuso, ¿cómo podemos estar seguros de que nuestro sistema va a quedar definido con precisión y rigor?, ¿cómo podremos definir las reglas de un modo lo suficientemente claro? Es un problema de difícil solución, la cual sólo puede ir, más que hacia el alcance de una meta, la de la claridad absoluta, hacia una dirección: ir acrisolando y clarificando nuestro lenguaje en orden a obtener un sistema formal en condiciones.

Pues bien, este lenguaje que sea lo suficientemente riguroso como para poder emplearlo en la definición de nuestro sistema formal, es el que se conoce también como meta-matemática. No sería tanto lo que pudiéramos decir sobre un sistema formal ya constituido, sino lo que hemos de decir para su constitución.

Si nos damos cuenta, lo que hemos estado haciendo para definir lo que es la meta-matemática, también es… ¡meta-matemática! ¿No hay aquí cierta circularidad? Pues seguramente sí; pero el caso es que, para definir los principios de cualquier sistema, hay que partir de unos conceptos obtenidos por cierta intuición. No es posible empezar a definir un sistema desde cero, sino que ya se cuenta con un bagaje, con un subsuelo de significados implícitos, subyacentes, sin los cuales sencillamente no se puede empezar a definir. Es la misma misma circularidad que está también presente en los diccionarios, por ejemplo.

Y, como decía, con la meta-matemática podemos no sólo definir, sino también deducir. Cuando tratamos de buscar un modelo para un sistema formal, esta búsqueda la hacemos meta-matemáticamente, no matemáticamente porque de lo que se trata es de una referencialidad semántica externa al propio sistema formal, y esta referencialidad es siempre interpretada con nuestro lenguaje habitual. Por lo tanto, que una interpretación sea un modelo del sistema es una deducción meta-matemática. Y lo mismo vale, como dice Raguní, para la corrección que se realiza del propio sistema formal y de sus reglas según su contraste con dicho modelo: «cuando, con respecto a un modelo del Sistema, se verifica la corrección de las reglas deductivas (esto es, si en base a ellas se deducen siempre teoremas verdaderos, cuando son interpretados en el modelo), diremos sintéticamente que el modelo es correcto». Conclusión: para definir un sistema formal es preciso un valor semántico en su definición, desde el cual podemos comprenderlo. No todo es tan formal, tan lógico.