La existencia real frente a la ‘existencia’ lógica

Hilbert, gran defensor de la logificación de la matemática, entendía, como tantos otros, que la consistencia (matemática) era sinónimo de existencia (matemática). Aunque, evidentemente, esta existencia matemática no podía entenderse al modo en que las ciencias naturales la entendían. ¿Cómo se entiende la existencia en las ciencias naturales? Pues mediante la experiencia sensible, mediante el contacto directo, mediante la resistencia que ejercen ciertos entes a nuestra sensibilidad, afectándola. Claro, esta opción no tiene aplicación en las matemáticas, pues no podemos tener experiencia empírica de los entes con los que trabaja. ¿Cómo establecer su existencia? Hilbert entendía que no había otro camino que el de su ‘encaje consistente’ en el sistema al que pertenecía: la existencia de un ente matemático dependía de su consistencia formal.

Esto es algo que Hilbert defendía desde la confianza de que la verdad matemática consistía en su demostrabilidad en el sistema formal. Pero claro, si, como decía Gödel, la consistencia no puede probarse, ¿dónde queda la opción de Hilbert? Ya vimos cómo Gödel mostró que esta pretensión de Hilbert no era posible; no es otra cosa lo que indican los teoremas gödelianos: «que no existe ningún sistema formal completo para la Aritmética que, siendo consistente, pueda ser descrito con rigor formal», explica Lorenzo. Si esto es así, como dice Peña Páez, «es imposible que alguien al mismo tiempo pueda establecer un sistema bien definido de axiomas y reglas, y percibir con certeza matemática que todos los axiomas y reglas son correctos y contienen a toda la matemática». La consecuencia de esto, tal y como vimos, es que es imposible conseguir la certeza de que no haya contradicciones matemáticas con medios estrictamente matemáticos; o, dicho de otro modo, no existe método formal que pudiera hacerse eco de todas las verdades matemáticas. Lo dicho: ¿dónde queda entonces la definición de Hilbert de existencia matemática?

Para salvar este hueco, esta distancia entre axiomatización lógica (en la que todo está determinado), y matemáticas (en la que no lo está), es para lo que Gödel echó mano del concepto de intuición. Es aquí donde hay que situar este ‘algo más’ del que hablábamos en el anterior post. Si no es posible demostrar la verdad de todos los enunciados de un sistema, si no es posible establecer lógicamente la verdad de todos los enunciados, ¿cómo establecerla? Intuitivamente. Porque claro, que un enunciado no sea demostrable no implica que no sea verdadero, ya que demostrabilidad y verdad no son dos propiedades equivalentes.

Muy bien un enunciado puede ser matemáticamente verdadero, aunque lógicamente no se pudiera demostrar. El problema que surgió de esto no fue baladí: cómo hacerse eco matemáticamente de la intuición, asunto al que Gödel le prestó atención dada su desconfianza (evidente) hacia los intentos lógicos de formalizar la matemática.

Esta inquietud de Gödel tiene que ver con su acepción como realista, y que, en su caso, se puede articular en torno a su concepto de intuición, que él emplea en el sentido de que, mediante ella, algo se impone al matemático, y ello que se impone no es estrictamente la percepción del objeto, sino algo a partir de lo cual el matemático forma los objetos matemáticos. Esto que se impone al matemático, a partir de lo cual el matemático puede formar, crear, definir, postular, objetos matemáticos, enlaza de alguna maneara la existencia matemática con la existencia real de las cosas, más allá de su consistencia lógica. Gödel tenía una idea interesante para explicar esto: decía que la intuición puede entenderse análogamente a la sensación física, a la cual se añade (de modo análogo a como ocurre en las ciencias naturales) «el apoyo indirecto que presta a una hipótesis el hecho que se sigan de ella consecuencias verificables difíciles de obtener sin ella y de que no se sigan de ella consecuencias indeseables». Es decir: la intuición no es estrictamente un método de conocimiento, aunque es indispensable para hacer matemáticas, en virtud de la cual las verdades matemáticas se nos imponen de alguna manera, sin poder manejarlas a nuestro antojo, idea que, como veremos cuando hablemos de Zubiri, es fundamental.

El porqué del concepto de intuición en Gödel

El hecho de que Gödel tuviera razón, y las intenciones logicistas del viejo Frege y compañía no pudieran llevarse a cabo, implica la existencia de una diferencia radical entre matemática y lógica, la cual pone de manifiesto que tratar de subsumir lo matemático en lo formal no es sino un reduccionismo insostenible. Esta situación nos lleva a indicar la existencia de dos materias distintas (aunque no desconectadas): la lógica y la matemática; es decir: ha aparecido un abismo donde Frege sólo veía una diferencia de nivel. El asunto pasa por determinar dónde situar esa diferencia radical, aunque algo hemos visto ya de eso.

Si lo pensamos bien, si un sistema real, sea el que sea, pudiese ser formalizado perfectamente, en el fondo ambos sistemas, el real y el formal, tratarían de lo mismo, serían dos sistemas isomorfos, de modo que todo lo que hubiera en uno estaría también en el otro, y viceversa. Pero ya sabemos que no es el caso. A lo más que puede llegarse es a cierta correspondencia estructural entre ambos, en el sentido de que ciertas proposiciones del sistema lógico pueden ser traducidas en proposiciones verdaderas en el real, y viceversa; pero no totalmente. ¿Qué ventajas aporta, pues, el programa logicista, a sabiendas de que nunca podrá agotar el sistema real? Básicamente que permite un cálculo más fácil, y con mayor rigor, posibilitando una aplicación en la ciencia. Pero insisto: esta formalización, que puede ser positiva, no es absoluta, dada la limitación intrínseca a todo formalismo, tal y como Poincaré ya vaticinó y Gödel demostró.

Este ‘algo más’ que hay en la matemática es precisamente lo que impide su formalización completa, porque ‘no cabe’ en el molde logicista, y es lo que tiene que ver con aquello de la ‘solidez’ de la matemática. Vimos en este post cómo a Gödel cabía calificarlo como un autor realista, aunque hacerlo en sentido platónico era problemático; y que, para comprender su postura, era interesante aproximarnos al pensamiento que Zubiri expresa en su Inteligencia y logos.

Pues bien, el concepto gödeliano que podemos emplear para la aproximación entre ambos autores puede ser el de intuición, con el cual trata de poner de manifiesto un algo más que posee el hacer matemático frente al marco de cálculo establecido por la lógica. Entender esta diferencia entre lógica y matemática puede sernos muy útil para comprender su postura.

Recordemos que lo que Gödel probó fue, en palabras que Jesús Mosterín escribió en el prólogo a la primera edición de sus obras completas que él editó, lo siguiente: «En 1931 probó que todo sistema formal que contenga un poco de aritmética es necesariamente incompleto y que es imposible probar su consistencia con sus propios medios». Esto implica ―a mi modo de ver― una idea muy importante, como es que lo lógico y lo matemático no son reducibles entre sí; o bueno, que la matemática no es reducible a la lógica, que ha sido la tendencia más acentuada durante las primeras décadas del siglo pasado. Que esto es así es lo que probó Gödel, lo que supuso, evidentemente, una buena estocada al logicismo: la lógica no es absoluta, no es completa. Y, si esto es así, si la matemática no puede ser reducida a la lógica, ello quiere decir que la matemática posee un ‘algo’ (habrá que ver qué es ese ‘algo’) que no es lógico, que no pertenece a la esfera de la lógica; y ello implica que en la matemática hay cabida para ‘algo’ de una naturaleza no lógica. Este ‘algo’ es lo que Gödel trata de establecer mediante el concepto de intuición, concepto que adquirirá matices diferentes a los de otros autores que también siguen esta línea de pensamiento como, por ejemplo, Poincaré que lo enfoca más desde el momento creativo intrínseco al hacer matemático (espero que esto lo podamos ver en su momento).

El realismo matemático de Gödel (y una ayuda de Zubiri)

Finalizamos el anterior post dedicado a unas reflexiones filosóficas sobre el teorema de Gödel, comentando su posición en la perenne discusión —pero no por ello poco interesante— sobre el carácter real o imaginario de las entidades matemáticas. No es infrecuente encontrarse con intérpretes de su pensamiento que lo sitúan cómodo en posturas platónicas. Ciertamente, así parece desprenderse de algunos de sus textos. Pero —como apunta Díaz— cuando se atiende su obra en conjunto, se puede realizar una lectura diversa. Como ya anunciaba, en este post y en los sucesivos voy a tratar de dar razón de la postura de Gödel apoyándome en el pensamiento de Zubiri: el planteamiento zubiriano puede ser de ayuda, en tanto que puede dotar de rigor filosófico a las ideas poco elaboradas especulativamente de Gödel.

En la década de los 30, la concepción matemática imperante era la del círculo de Viena (Carnap, Han, Schlick), de carácter eminentemente formal, nada que ver con el intuicionismo al estilo de Brouwer o de Poincaré. Al igual que Brouwer, aunque siguiendo una línea diversa, Gödel tampoco simpatizaba con esta concepción tan formal de las matemáticas, según la cual los matemáticos parecían meros prestidigitadores que jugaban con elementos imaginarios, pero sin ningún tipo de vinculación con la existencia de las cosas. En uno de sus textos llega a decir: «Las ciencias formales no versan sobre objeto alguno; consisten en sistemas de enunciados auxiliares sin objeto ni contenido», dice Díaz. Lo cierto es que, en fidelidad al espíritu de Viena, las ciencias formales y empíricas estaban vinculadas, de modo que las fórmulas verdaderas (aunque su verdad fuera establecida prioritariamente por coherencia interna según las reglas sintácticas) poseían (o podían poseer) un correlato con las cosas. Independientemente de que este correlato de la matemática formal con el comportamiento de las cosas era un presupuesto nunca argumentado adecuadamente, el caso es que el principal problema para ellos, en el ámbito que nos importa, era, pues, el de la consistencia interna del sistema. Pues bien, para Gödel este salto entre la coherencia interna de una fórmula respetando las reglas sintácticas y su correlato con la realidad era problemático, siendo necesario pensar la relación existente entre lo formal y lo físico.

De alguna manera, veía cierta similitud entre la verdad formal y la física, en el sentido de que en ambos casos se estaba ante hechos sólidos, es decir, ante hechos que no podían ser manejados arbitrariamente: del mismo modo que el físico no podía manejar a su antojo sus objetos de investigación, tampoco el matemático podía hacerlo. Buena muestra de ello era precisamente el resultado de su famoso teorema, según el cual hay verdades indecidibles en un marco axiomático: un buen ejemplo de que las matemáticas podían dar más de sí de lo que inicialmente había previsto el formalista, que para nada deseaba ni se esperaba algo así. Sin embargo, aunque había cierta similitud entre ambos tipos de verdades, Gödel no los identificó; su problema es que no tenía herramientas teóricas suficientes para poder hilvanar convincentemente su argumentación.

Gödel entiende que la verdad matemática no es puramente formal, sino que posee un cierto carácter real, un momento de realidad en virtud del cual podía vincularse con las cosas, ámbito en el que se da de modo natural la verdad física. Este carácter real de la verdad matemática lo relaciona con esa solidez, es decir, con esa independencia que poseen en tanto que hechos sólidos los entes matemáticos frente a un ejercicio arbitrario; en este sentido piensa que, efectivamente, los entes matemáticos poseían objetividad, independientes de nuestra imaginación creativa abandonada a sí misma y de ser manejados según nuestras decisiones, del mismo modo que acontece con los entes físicos. Pero, no los equipara del todo: la verdad matemática no es igual del todo que la verdad física, aunque es consciente de que «algo en ellos, existe objetiva e independientemente de nuestros actos mentales y decisiones». El problema es qué es ese algo, y para aclararlo nos puede ayudar nuestro querido Zubiri.

Zubiri coincide con Gödel en esta idea, no sólo por el propio ejercicio de las matemáticas, sino también como consecuencia de su teorema de incompletitud; de hecho, afirma que de él —del teorema de Gödel— se sigue «la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la matemática». Si lo postulado matemáticamente puede ser verdadero, es porque primariamente le compete su carácter de realidad; en caso contrario, ¿a santo de qué? Ciertamente, para no pocos autores no deja de ser un enigma esta vinculación entre matemáticas y realidad, como, por ejemplo, para E. P. Wigner, quien en su The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences de 1960, afirmó: «La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso y no existe una explicación racional para ello. No es nada natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de la idoneidad del lenguaje matemático para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no entendemos ni merecemos». Pues bien, podemos afirmar que es gracias a ese carácter objetivo (según Gödel), a ese carácter de realidad (según Zubiri), que se puede salvar el abismo entre lo lógico y lo real, que es precisamente donde cabe situar el problema de la verdad. Ello nos lleva a una conclusión interesante, y densa, que iremos desgranando poco a poco: «El objeto matemático es realidad construida ‘según conceptos’ dentro del momento ‘físico’ de la formalidad de realidad sentida. Puede tener propiedades ‘suyas’, ‘propias’, dadas y no concebidas». Para comprender esto bien es preciso tener clara la diferencia zubiriana entre contenido (talitativo) y formalidad, entre cosas reales y el carácter (formal) de realidad que tienen, asunto en el que no me puedo detener aquí ahora, independientemente de que alguna alusión haremos. La libre construcción (matemática) no es independiente a la fuerza de imposición de la realidad; esta fuerza de imposición se nos impone tanto al percibir entes físicos como al postular entes matemáticos.

Para él, el hecho de que las propiedades de un conjunto no puedan deducirse en su totalidad de los axiomas, es la más clara muestra de que la construcción matemática se incardina en la más amplia construcción de realidad, a la cual pertenece y que le engloba: es precisamente por este carácter real que los conjuntos son más de lo que pueda deducirse de los postulados previos. Con esto tiene que ver la noergia de la inteligencia sentiente. Es éste precisamente el puente que trata de encontrar Gödel, y que Zubiri lo tiende en bandeja de plata. La inteligencia para Zubiri no es abstracta, lógica, teórica, ‘concipiente’ dirá él, sino física, real, ‘sentiente’; diferencia que parece una sutileza, pero que conforme se profundiza en ella deja entrever una novedosa comprensión no sólo de este asunto, sino de la metafísica en general. Gracias a este giro se puede ver que lo construido por postulación tiene más propiedades que las que cabría deducir axiomáticamente de los postulados, porque la postulación matemática no es algo primario, no se basta a sí misma, sino que necesariamente es postulación ‘de’ realidad y ‘desde’ la realidad.

Reflexiones filosóficas tras el teorema de Gödel (y II)

Concluíamos el anterior post con un resultado interesante, como es la irresponsabilidad de reducir la matemática a argumentos matemáticos, conscientes de que la razón matemática es, en ocasiones, más amplia. Ya lo vimos. Quisiera comentar otro resultado, no menos interesante, como es la del estatus ontológico de lo matemático. y que no deja de acercarse al eterno problema semántico de la relación entre un lenguaje (en este caso el matemático) y la verdad, es decir, su alcance para ‘decir adecuadamente la realidad’. No han faltado las épocas en las que se ha resuelto este problema afirmando el carácter absoluto de las verdades matemáticas, de modo que sus teoremas eran capaces de decir la realidad sin ningún género de dudas, postura que se ve menguada hacia un carácter relativo, vinculado a su ámbito y a su consistencia. Es necesario, pues, cuestionarse el concepto de verdad matemática: ¿qué es la verdad matemática?, ¿qué carácter tiene para poder contribuir exitosamente a la descripción de los hechos de la naturaleza?

Para dar explicación de ello hay dos grandes posturas: ¿son las matemáticas una mera herramienta útil inventada por el ser humano, o existe algo así como un reino abstracto de las matemáticas, existente por sí mismo, de modo que lo que hacen los humanos es ir descubriendo poco a poco sus verdades? Según la primera postura, el antirrealismo matemático, efectivamente las matemáticas son creación humana que nos ayuda a comprender el universo; con ellas y sus leyes, construimos modelos mediante los cuales nos representamos la realidad, y nos permiten hacer predicciones, y discernir su verdad. Entre sus principales defensores estarían Wigner, Einstein, Hilbert o Cantor. Esta postura deja, en el fondo, un asunto sin resolver, como es por qué esto es así: si las matemáticas son creación fruto de la imaginación humana, ¿por qué son útiles efectivamente para describir la realidad? La única respuesta que cabe es porque el universo posee una dimensión matemática, pero deja sin resolver por qué es así, porque posee esta estructura capaz de ser explicada mediante una herramienta creada por el ingenio humano.

El mismo Gödel se planteó este problema: ¿hasta dónde se puede llegar para poder establecer una definición ‘omnicomprensiva’ de lo que sea la verdad matemática o lógica? En su opinión, la solución pasaba por aproximarse a la postura platónica, ya que a su entender sólo así se podía dar respuesta cabal a este problema: es el realismo matemático (afirmación que hay que matizar, como comentaré en otro lugar, en la línea de un realismo ‘constructivo’). Desde esta perspectiva, el universo se movería en base a las ecuaciones que gobiernan su dinamismo; lo que haría el matemático no es sino descubrir ciertas verdades que estarían ahí antes de que él diera con ellas, de modo análogo a cómo se descubre un nuevo planeta, no dudando nadie de que antes de su descubrimiento el planeta estaba efectivamente allí. Como dice Ribes, «según el realismo, las matemáticas existen de forma objetiva e independiente del pensamiento humano. Los conceptos matemáticos están entretejidos en el tejido mismo del Universo y están disponibles para que los descubramos y los llevemos a un uso práctico». Además de Gödel, se unirían a esta perspectiva Hardy o Penrose.

No obstante, no es fácil comprender a fondo este realismo matemático, a no ser que contemos con la existencia fáctica de entidades no físicas, como son los teoremas matemáticos; es fácil entender que el planeta estaba ahí antes de su descubrimiento, y ya no lo es tanto cuando hablamos de verdades matemáticas: ¿dónde situamos a una verdad matemática?

En la cosmovisión platónica es una respuesta fácil de responder ya que formaría parte de su reino de las Ideas, más reales que la misma realidad (que no es sino una copia de aquéllas). De hecho, él las sitúa exactamente a caballo entre los objetos materiales y las Ideas puras y eternas, siendo la diánoia o pensamiento discursivo la facultad del alma para conocerlas, la cual sólo era superada por el nous o facultad del alma para inteligir las Ideas. Aunque no eran tan ‘ideales’ como las Ideas, gozaban de ese carácter existente ideal. Pensemos en un triángulo: todos tenemos en la mente la imagen de un triángulo, a sabiendas de que ningún triángulo existente en la realidad material es perfectamente triangular, pero que se pueden dar gracias a la existencia de la idea ‘triángulo’.

Pues bien, para el realismo matemático ocurre algo similar con los conceptos y los teoremas, que existen independientemente de nuestros razonamientos y definiciones, llegando a afirmar incluso lo siguiente: «Me parece que la hipótesis de objetos de este tipo es tan legítima como la hipótesis de los cuerpos físicos, y que hay las mismas razones para creer en ellos» explican Nagel & Newman. Según los entendidos es una cuestión que sigue abierta. Me vienen a la cabeza algunas reflexiones de Karl Popper en torno a lo que denominaba Mundo 3, cuyos elementos integrantes son del tipo de estas elaboraciones del intelecto humano (como también los pensamientos, las teorías científicas, etc.), y que en ocasiones parecía también que se sentía cómodo con esta postura cuando la explicaba en El yo y su cerebro, libro que escribió junto a J. C. Eccles. Aunque son páginas un poco confusas, a mi modo de ver; pero eso es otra historia.

Si bien no fue un antirrealista matemático, para algunos autores tampoco fue tan realista como Platón, sino que se situaba a caballo entre ambas posturas, faltándole la capacidad filosófica para poder expresar claramente sus ideas. Quizá para comprenderlas bien sea interesante vincularlas a la postura constructiva de Zubiri, tal y como la explica en su segundo tomo de la trilogía, Inteligencia y logos.

Reflexiones filosóficas tras el teorema de Gödel (I)

Una vez situado a Gödel en el contexto matemático de la época (que vimos aquí), quería comenzar a desentrañar algunas consecuencias filosóficas del mismo. La aportación de Gödel, a pesar de truncar las esperanzas de Hilbert, para nada fue negativa; como se suele decir, cuando se cierra una puerta, se abre una ventana. Y el caso es que, tras su famoso artículo, se introdujo un nuevo modo de entender la investigación matemática, abriendo nuevos problemas y apuntando nuevas vías de trabajo.

Una primera consecuencia puede ser ésta: que tras Gödel, ya no se trata de poner en evidencia las bondades de un determinado sistema axiomático, sino de destacar que en todo ámbito matemático (en este caso) hay más verdades que las que podamos pretender abarcar. O, dicho de otra manera: «que existe un número sin fin de proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden deducirse formalmente de ningún grupo dado de axiomas, mediante un grupo cerrado de reglas de inferencia», dicen Nagel y Newman. Esto ocurre tanto en sistemas axiomáticos aritméticos (los cuales no pueden abarcar 'todas las verdades' referentes a los números) como en cualquier sistema axiomático referente a otro ámbito de las matemáticas. Con esto no se quiere decir que los teoremas de un sistema axiomático no nos digan o no nos puedan decir verdades de la realidad, sino que no pueden agotar todas las que ‘cabrían’ en su ámbito de trabajo. A lo cual hemos de añadir otra circunstancia, como es que parece razonable pensar que la realidad es más amplia que lo que las verdades matemáticas, entendiendo a éstas como las correspondientes que nos puedan aportar todo el conjunto de sistemas matemáticos que podamos esbozar. Lo matemático nos ofrece una dimensión de la realidad, aquella que es matematizable, dejando fuera todo lo que ‘no cabe’ en su metodología específica.

Un sistema axiomático no sólo no puede agotar todas las verdades de su ámbito, sino que tampoco las matemáticas en general pueden agotar todas las verdades de la realidad. Las verdades matemáticas son un subconjunto de todas las verdades decidibles, muchas de las cuales no son necesariamente matemáticas.

Hay una segunda consecuencia interesante que no quisiera dejar de destacar, a saber: que lo que entendemos por procesos matemáticos incluye más de lo que es el ejercicio de una metodología axiomática formalizada. Cuando esa vinculación fuerte entre teoremas matemáticos y realidad ya no es tal, se ponen de manifiesto estrategias de razonamiento matemático que no son en su totalidad estrictamente lógico-matemáticas, sino de otra índole; es decir: que los matemáticos no sólo razonan matemáticamente, sino que incluyen en su razonar elementos de otra índole. De ello se hacen eco estos autores: «(…) no puede fijarse ningún límite previo a la capacidad inventiva de los matemáticos para descubrir nuevas reglas de prueba», que ya dejan de ceñirse a un procedimiento eminentemente lógico-formal, y pueden apelar a otros recursos.

Ejemplo paradigmático de ello fue sin duda otro genio de la matemática, Henri Poincaré, quien ponía de manifiesto cómo factores estéticos, con un correlato importante en la fisiología del cerebro humano, eran determinantes a la hora de poder investigar en la matemática y de resolver problemas matemáticos. Venía a decir algo así como que con la lógica se demuestra, pero con la intuición se inventa. Se hacía así eco de lo que Eugenio d’Ors denominó razón estética que, como ya comenté en otro lado, no significaba tanto que lo estético era un añadido, o un acompañante de la verdad lógica, sino que lo estético proporcionaba un modo de conocimiento verdadero ajeno a los cánones del razonamiento lógico, que es totalmente distinto. En línea con la primera consecuencia que comentaba, se puede decir que ‘la’ verdad es más amplia que la verdad ‘lógico-matemática’: cabe una verdad ‘estética’, por lo pronto. Por este motivo, buena parte de esta verdad siempre será indemostrable formalmente. La verdad presenta diversas dimensiones, cada una de las cuales se ha de alcanzar con una metodología propia. En función de la metodología (no olvidemos que método significa ‘vía para’, ‘camino para’ llegar a un fin o a un resultado), alcanzaremos un tipo de conocimiento, afín a dicha metodología; si la metodología es matemática, el conocimiento será matemático; si la metodología es estética, el conocimiento será estético; si la metodología es ético-vital, el conocimiento ético-vital; etc. Como dice Rodríguez-Salinas, es importante preocuparse por el método que se emplea para adquirir el conocimiento, pero más importante es llegar a una verdad que desborda cualquier método que podamos emplear; más importante es tener una mente abierta, ejercitada y tenaz pero abierta, capaz de reflexionar bajo distintas claves, y tener la sensibilidad suficiente como para alcanzar la belleza profunda que subyace a cualquier conocimiento verdadero que podamos alcanzar.

Esto que estoy comentando pone de manifiesto las limitaciones de la inteligencia artificial, ya que las máquinas calculadoras, por muy potentes que sean, siempre se encontrarán en un sistema axiomatizado determinado, y habrá cuestiones que nunca podrán resolver. Es cierto también que el cerebro humano tendrá limitaciones intrínsecas que le impedirán acceder a determinados tipos de conocimiento; pero no lo es menos que nuestro cerebro puede utilizar medios diversos en su razonamiento, el cual ya no tendrá que ceñirse estrictamente al lógico-matemático, y que le permitirá acceder a otro tipo de verdades que permanecerán veladas a los súper-ordenadores, limitados a la inferencia matemática. Se pone de manifiesto a su vez que la razón humana no puede ser totalmente formalizada; menos mal porque ello significa que podemos generar nuevos modos de razón y nuevos marcos conceptuales más allá de los dados y no generados lógicamente a partir de ellos. De hecho, hay proposiciones matemáticas que no pueden establecerse mediante una deducción formal partiendo de los axiomas correspondientes, pero que muy bien pueden ser establecidos mediante razonamientos meta-matemáticos ‘informales’. Evidentemente, que no puedan ser alcanzables mediante razonamientos lógicos no implica que no sean alcanzables, sino que no lo son por razonamientos lógicos; muy bien podrían serlo por otro tipo de razonamientos, no lógico-matemáticos, lo cual no implica ni mucho menos que sean meras ocurrencias; de hecho, también son racionales, pero no según la razón lógico-matemática. Nagel y Newman llegan a decir que, afirmar lo contrario (que sólo son válidos los resultados de una razón lógico-matemática) es poco menos que una irresponsabilidad: «sería una irresponsabilidad afirmar que estas verdades formalmente indemostrables, establecidas por argumentos meta-matemáticos, estén basadas en nada más ni mejor que meros recursos a la intuición».

La problemática en torno al teorema de Gödel

Una vez expuesta un amago de comprensión del teorema de Gödel (en la medida de mis posibilidades, consciente de mis limitaciones), quisiera acometer en breve una reflexión sobre las consecuencias filosóficas del mismo, tratando de culminar el asunto con la lectura que hace Zubiri, para lo cual nos sumergiremos un poco en el segundo volumen de su trilogía, Inteligencia y logos, donde trata específicamente el problema de lo matemático. Antes de acometer esta tarea, trataré de resumir aquí la idea general que subyace a todos los posts que he ido publicando en torno a este asunto.

En los comienzos del siglo XX, estaba muy presente en el imaginario matemático ese viejo sueño ya presente en autores como Ramón Llull o Leibniz, de intentar alcanzar un modo científico de ejercer la razón, mediante el cual podríamos conocer toda la realidad. La idea era intentar formalizar totalmente el razonamiento matemático, de modo que la culminación sería poder demostrar su consistencia, es decir, que dicho sistema no es contradictorio. Ciertamente, en esta época se habían puesto de manifiesto algunas paradojas en algunos de estos sistemas formales, por lo que los cimientos de esta fantástica empresa se mostraron más débiles de lo que en un principio se suponía. Como contraposición a esta situación, surgió el empeño de demostrar que no, que no pasaba nada, que las matemáticas efectivamente eran consistentes.

Hubo dos grandes pasos en este sentido, a saber: el monumental tratado Principia Mathematica de Russell y Whitehead y la teoría de conjuntos de G. Cantor; aunque no todos los autores estaban de acuerdo con ello, como veremos ahora enseguida. Su gran mérito fue que en ellos se podía expresar toda la matemática conocida hasta la fecha; por lo que, si se conseguía demostrar su consistencia, pues asunto acabado. El clima en general, en el que se incluía el mismo Hilbert, era optimista: se pensaba que era cuestión de tiempo alcanzar esta demostración; de hecho, pensaba incluso que más pronto o más tarde, todo conocimiento científico caería bajo el método axiomático. También para el mismo Gödel, quien inició sus trabajos en este sentido. Pero, la vida da muchas vueltas y, paradójicamente, cuanto más investigaba, más se le iba haciendo presente la imposibilidad de dicho proyecto, desembocando precisamente en lo contrario, «que existen verdades aritméticas no demostrables, entre ellas la consistencia o no contradicción de la aritmética». Como dice Gutiérrez, «por esas ironías del destino, quien estuvo más cerca de llevar a cabo el problema de Hilbert fue precisamente quien le dio el tiro de gracia».

Efectivamente, Gödel estaba inserto en una polémica muy importante relativa a los mismos fundamentos de las matemáticas. Porque ―como decía― no todos los autores estaban de acuerdo con los planteamientos de Whitehead-Russell y Cantor. Brouwer por ejemplo, quien sostenía que el uso del infinito que hacía Cantor era poco menos que absurdo, y no le veía justificación, reduciéndose tan sólo a un juego de palabras. Aunque esta crítica no hizo fortuna, sí que la hizo otra, que también siguió Hilbert, como fue que, en su opinión, sólo pueden ser válidos aquellos objetos que se pueden construir algorítmicamente según una cantidad finita de pasos, aunque los objetos en sí sean infinitos. Hilbert no siguió a pies juntillas a Brouwer, presentando una alternativa a su intuicionismo. De hecho, en su sistema entre matemáticas y meta-matemáticas estaba presente la exigencia de finitud y constructividad entre los elementos del sistema formal y los enunciados. Así pensaba que se podrían validar algorítmicamente los razonamientos matemáticos. Todo esto ya lo hemos ido viendo en los posts previos de esta categoría.

Pues bien, todas estas esperanzas fueron truncadas por Gödel, en su famoso articulito escrito en 1930 pero publicado en 1931, titulado “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”, en el cual exponía su ‘teorema de incompletitud’. En palabras del mismo Gödel: «Como es sabido, el progreso de la matemática hacia una exactitud cada vez mayor ha llevado a la formalización de amplias partes de ella, de tal modo que las deducciones pueden llevarse a cabo según unas pocas reglas mecánicas. Los sistemas formales más amplios construidos hasta ahora son el sistema de Principia Mathematica (PM) y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (desarrollada aún más por J. von Neumann). Estos dos sistemas son tan amplios que todos los métodos usados hoy día en la matemática pueden ser formalizados en ellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. Resulta por tanto natural la conjetura de que estos axiomas y reglas basten para decidir todas las cuestiones matemáticas que puedan ser formuladas en dichos sistemas. En lo que sigue se muestra que esto no es así, sino que, por el contrario, en ambos sistemas hay problemas relativamente simples de la teoría de los números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas (y reglas)». Me maravilla la soltura de Gödel quien así, tan campante, no duda en afirmar: ‘en lo que sigue se muestra que esto no es así’.

Duro golpe para Hilbert, pues echó por tierra todas sus pretensiones. Como hemos estado viendo, Gödel venía a decir que, en un sistema consistente, en el que sólo se admiten demostraciones verificadas algorítmicamente según los elementos de dicho sistema en una serie finita de pasos, siempre habrá un enunciado P, tal que ni él ni su negación son demostrables en él. Es decir, que P es indecidible en dicho sistema; con lo cual dicho teorema se puede expresar también como que en dicho sistema hay por lo menos una proposición P indecidible. Lo cual quiere decir que hay por lo menos una proposición verdadera fuera del sistema que no puede ser demostrada en él.

Si la aritmética es consistente, es incompleta: ecos del teorema de Gödel

En el anterior post de esta serie culminé una serie mediante los cuales trataba de comprender cuál fue el planteamiento de Gödel en su famoso teorema, así como su demostración. No estoy seguro de haberlo conseguido del todo, pero, en fin, espero haber esclarecido algunas cuestiones; por lo menos, esa ha sido mi experiencia personal, siendo como soy ajeno al mundo matemático. Aunque he de reconocer que creo que no lo he captado en toda su riqueza.

¿Y por qué fue tan importante este teorema? Como es fácil pensar, después de él ya nada fue igual, en cuanto que supuso un grave trastorno en el ámbito matemático. Podemos extraer diversas consecuencias. Démonos cuenta de que, para deducirlo, hemos tenido que contar necesariamente con la autorreferencialidad que, si bien en la paradoja de Richard fue falaz, aquí no sólo no lo es, sino que ha servido para echar por tierra, no el ‘gran sueño americano’, sino ―podríamos decir― el ‘gran sueño de todo matemático’, como dice Gutiérrez: «con este resultado Gödel echa por tierra el famoso ‘axioma de la solubilidad de todo problema matemático’ que postulaba Hilbert (y en su corazoncito cada matemático)»    . ¿Qué era lo que decía Hilbert? En un discurso de 1900 afirmó: «Es probablemente este importante hecho [se refiere a que importantes y viejos problemas finalmente han encontrado completa y rigurosa solución] junto a otras razones filosóficas lo que da origen a la convicción ―que todo matemático comparte, pero nadie hasta el momento ha apoyado con una demostración― de que todo problema matemático definido debe necesariamente ser susceptible de una exacta solución, ya sea en la forma de una respuesta concreta a la cuestión planteada, o por la demostración de una imposibilidad de su solución y por consiguiente el necesario fracaso de todos los intentos». Esperanza que su fiel discípulo Kurt Gödel se encargó de truncar, acabando con el sueño de «una matemática segura, consistente, decidible, categórica, formalizable y completa».

Pero lo importante de este teorema está en el siguiente detalle. Con él hemos llegado a la conclusión que en un teorema consistente hay por lo menos un enunciado indecidible, con lo que dicho teorema es incompleto. Pero el caso no es que ‘este’ sistema sea incompleto, sino que los sistemas consistentes, ‘todos’ los sistemas consistentes, son esencialmente incompletos.

Podríamos pensar que, si al sistema axiomático inicial, le añadimos este teorema que no habíamos podido demostrar, ‘ahora sí’ que ya abarcaríamos todas las verdades decidibles en dicho sistema. Pues no: esta estratagema no bastaría para que con dicho sistema pudiéramos suministrar todas las verdades aritméticas. Como dice Raguní, el teorema de Gödel puede aplicarse a cualquier ampliación del sistema de partida al añadirle cualquier teorema nuevo, siempre que sean respetadas sus hipótesis, y el resultado siempre será el mismo. Porque, en definitiva, se trataría de realizar una operación similar a la que hemos realizado hasta aquí, ahora con un sistema axiomático un poco más potente, pero, incompleto, en definitiva. De ello se hacen eco Nagel y Newman: «Esta notable conclusión se mantiene sin que importe cuántas veces se aumente el sistema. Nos vemos así obligados a reconocer una limitación fundamental en el poder del método axiomático. Contra hipótesis previas, el vasto continente de la verdad aritmética no puede ser llevado a orden sistemático estableciendo de una vez por todas una serie de axiomas de los cuales puedan derivarse formalmente todas las proposiciones aritméticas verdaderas».

O, lo que es lo mismo: si la aritmética es consistente, el sistema es incompleto. «Sintetizando, un sistema clásico que satisface las hipótesis del teorema de incompletitud es esencialmente incompleto: no se puede completar añadiéndole axiomas, aunque sean infinitos, mientras se conserve la consistencia y la recursiva numerabilidad del conjunto de sus axiomas», dice Raguní.

Esto nos lleva a otra conclusión importante, que dio lugar a lo que se conoce como segundo teorema de incompletitud, el cual fue formulado por el mismo Gödel (también, de modo independiente, por John von Newman). Lo que viene a decir es que, si el sistema es consistente, su consistencia no puede establecerse en el seno de dicho sistema. Baltasar Rodríguez-Salinas lo explica así: «En efecto, la formalización del primer teorema muestra que la única hipótesis sobre el sistema lógico es su propia consistencia, de modo que, si la consistencia de una aritmética suficientemente fuerte o exigente fuera demostrable dentro de esa misma aritmética, entonces la proposición indecidible sería demostrable a su vez. La consecuencia es inmediata: si la aritmética en cuestión es consistente, entonces dentro de ella misma no es demostrable esa consistencia».

Pero ojo, esto hay que interpretarlo bien. Lo que esta afirmación dice, es que no es posible probar su completitud según las reglas formales de deducción en el seno del sistema axiomático; pero nada impide que pueda haber una prueba meta-matemática de ello, o una prueba finitística fuera de la aritmética. De hecho, se han realizado pruebas meta-matemáticas de la consistencia de la aritmética, en concreto por un miembro de la escuela de Hilbert, Gerhard Gentzen (entre otros). Esto es muy importante, porque se proponen nuevos modos de aritmetizaciones de enunciados meta-matemáticos, a la vez que se depuran los modos en que se deben ir ampliando las reglas de inferencia manteniendo firme la consistencia del sistema.

El hecho de que, para poder afirmar algo sobre el sistema, en este caso su consistencia, debamos ‘salirnos’ de él, utilizando argumentos meta-matemáticos tiene unas indudables consecuencias, tanto matemáticas como filosóficas, las cuales abordaremos en breve.

Cerrando el teorema de Gödel (2 de 2)

Una vez hemos acabado de ver su planteamiento estructural (en el anterior post), vamos ahora con el desarrollo del teorema. Pues bien, lo que busca Gödel es demostrar que existe por lo menos un enunciado tal que, si se cumplen las condiciones de Hilbert (consistencia axiomática y verificabilidad algorítmica), ni él ni su negación se pueden demostrar en el sistema formal (partiendo de sus axiomas y empleando las reglas definidas). O sea, que dicho enunciado es indecidible en dicho sistema. ¿Cómo hacerlo? El planteamiento fue concretar una expresión meta-matemática con su correspondiente número de Gödel, de modo que ni ella ni su opuesta fueran demostrables en el sistema formal. ¿Qué expresión fue ésta? Nos lo explican Nagel y Newman: «Gödel mostró cómo construir una fórmula aritmética G que represente el enunciado meta-matemático: ‘La fórmula G no es demostrable’», en el seno del sistema formal y partiendo de los axiomas dados.

Si nos fijamos, estamos en el caso de la autorreferencialidad que ya comentamos en un post anterior, es decir, queremos expresar una fórmula de una expresión metida dentro de sí misma. De este modo, si tenemos una fórmula cuyo número de Gödel es h, quedaría así: la fórmula cuyo número de Gödel es h, no es demostrable.

Vaya por delante que la proximidad entre este planteamiento y el que vimos cuando hablamos de la paradoja de Richard es evidente. El mismo Gödel se hizo eco de ello, siendo consciente de que G es construido de manera análoga a como se definían los números richardianos; pero recordemos que el planteamiento de Richard era falaz en tanto que empleaba enunciados no meta-matemáticos, sino extra-matemáticos, que es una de las condiciones que hemos supuesto en el planteamiento de Gödel (que los enunciados sean ‘significativos’ en el seno del sistema formal). Y hay otra diferencia importante: el resultado de Richard fue llegar a una paradoja, precisamente afirmando que un número era a la vez richardiano y no richardiano; aunque Gödel utiliza un argumento similar y obtiene un resultado similar, como él no utiliza enunciados extra-matemáticos ajenos al sistema formal, sino enunciados meta-matemáticos decidibles en dicho sistema, ese resultado análogo de que G y ~G son demostrables a la vez no nos lleva a una paradoja, sino a la demostración de su teorema. Y esto, ¿por qué? Llegando a este resultado, se concluiría que el sistema es inconsistente, porque un enunciado y su opuesto son demostrables, lo cual no es posible; pero una condición de partida era la consistencia del sistema axiomático, ya que, si el sistema axiomático no fuera consistente, nada de lo que estamos diciendo tiene sentido. Y, si efectivamente el sistema axiomático es consistente, sólo cabe la conclusión de que ni G y ~G pueden derivarse en el cálculo formal (ya que, en definitiva, pueden demostrarse ambas); o, dicho de otro modo, sólo cabe la conclusión de que hay por lo menos un enunciado indecidible: G. Espero que se entienda la diferencia.

Dicen Nagel y Newman: «Así, si la aritmética [el sistema formal] es consistente, G es una fórmula formalmente indecidible». El razonamiento que lleva a esa indecidibilidad es interesante. Partimos de un conjunto de axiomas que se suponen verdaderos; entonces, todos los enunciados que se puedan derivar formalmente de ellos serán también verdaderos. Ahora bien, aún no sabemos si nuestro enunciado G es verdadero o no. Veamos las dos opciones, que sea falso y que no. a) Si G es falso, la afirmación ‘la fórmula G no es demostrable’ es falsa, luego entonces, G es demostrable. ¿Qué tendríamos entonces? Pues un enunciado falso, y demostrable, lo cual no tiene sentido. b) Si G es verdadero, la afirmación ‘la fórmula G no es demostrable’ es verdadera, luego entonces, G no es demostrable. ¿Qué tendríamos entonces? Pues un enunciado verdadero, y no demostrable, lo cual tampoco tiene sentido.

Vemos cómo ni G ni ~G son demostrables en el seno del cálculo formal, lo cual es una contradicción. Pero, entonces, ¿cómo sabemos que G es verdadero?, porque mediante la operatividad aritmética hemos visto que no lo podemos saber. De nuevo entra en juego esa correlación entre lenguaje aritmético y enunciados meta-matemáticos; porque, efectivamente, no podemos demostrar aritméticamente la verdad de G, pero el caso es que sí se puede hace meta-matemáticamente. Dicen Nagel y Newman: «(…) a pesar de que la fórmula G es indecidible si los axiomas del sistema son consistentes, puede mostrarse, sin embargo, mediante un razonamiento meta-matemático que G es verdadera. Esto es, puede mostrarse que G formula una compleja pero definida propiedad numérica que necesariamente es válida para todos los enteros», asunto que personalmente se me escapa. De este modo, sabiendo por argumentos meta-matemáticos que G es verdadero, no hemos podido demostrarlo algorítmicamente partiendo de los axiomas de la aritmética.

O sea: G es verdadera (meta-matemáticamente) y es indecidible (aritméticamente). Con esto llegamos a la conclusión de que es un sistema consistente, pero incompleto. Recordemos que un sistema era completo cuando todas las proposiciones verdaderas que pudieran expresarse formalmente en el sistema son formalmente deducibles de los axiomas; y que, si no era el caso, el sistema era incompleto. Pues esto es lo que hemos demostrado: que el sistema (consistente) era incompleto.

Recuperando lo visto (1 de 2)

Con todo lo visto en todos los posts anteriores ya estamos en condiciones (¡espero!) de comprender cuál fue el hilo reflexivo que siguió Gödel en su famoso teorema. Hemos ido siguiendo sucesivos pasos para su comprensión. Hemos visto cómo Gödel ha creado su sistema formal, y cómo ha establecido un método para traducir (mapear) los enunciados meta-matemáticos en ciertas sucesiones finitas de signos, en ciertas fórmulas a las cuales les corresponde siempre un número natural, su número de Gödel, obtenido multiplicando potencias de números primos según una estrategia definida previamente (un método ciertamente original). Así, todo enunciado y, por ende, toda fórmula, posee su correspondiente número de Gödel. A las demostraciones de dichos teoremas, en tanto que son también un conjunto de expresiones formales, se les puede asociar a su vez su correspondiente número de Gödel (el cual será mucho más grande, pero a los efectos de esta demostración da igual). Se trata, pues, de un sistema que es consistente, y cuyo método de verificación de los teoremas es algorítmico (Hilbert), lo cual es muy importante por lo que vamos a ver ahora.

Mediante este sistema, Gödel ha conseguido una cosa excepcional, como es que cada enunciado meta-matemático tenga como correlato su correspondiente número de Gödel. Y, viceversa: que cada número (y qué números pueden hacerlo, ya que no todos pueden) tenga como correlato su correspondiente enunciado meta-matemático. Y aquí está el meollo. Lo importante no es tanto que, partiendo de un determinado número, y yendo hacia atrás, mediante su análisis factorial, seamos capaces de alcanzar la fórmula matemática correspondiente y, por tanto, el enunciado meta-matemático; que también. Lo importante de ello es «poder ya reconocer, a través de una operación que se pueda expresar sólo con funciones recursivas, si dicho número es o no el código de una cadena que constituye un enunciado correcto, un axioma, o una demostración. En otras palabras, la posibilidad de reproducir en términos de oportunas expresiones aritméticas (aquellas que representan en el sistema dichas funciones recursivas), la recursiva decidibilidad de tales colecciones» como dice Raguní.

O sea, que, efectivamente, el conjunto formado por los números de Gödel posibles, se corresponden con enunciados meta-matemáticos demostrables; un conjunto de números de Gödel posibles, cuyos elementos se consiguen por operaciones meramente algorítmicas.

Esta idea es fundamental. No todos los números naturales son números de Gödel; sólo aquellos que son obtenidos según la metodología que ya explicamos. No todo número natural es un número de Gödel. Pues bien, lo que Gödel ha mostrado en su planteamiento es que todo número de Gödel se corresponde con un enunciado meta-matemático que es demostrable. O sea, que si el enunciado meta-matemático es correcto, le corresponden sus operaciones adecuadas en el seno de dicho sistema formal; y, lo que es más importante, viceversa: si una expresión formal es resultado de unas operaciones correctas en el seno del sistema formal, su enunciado meta-matemático correspondiente será correcto. ¡Maravilla! O sea: que algunos enunciados pueden probar otros enunciados de forma totalmente algorítmica. Evidentemente, hablamos de enunciados meta-matemáticos que tengan sentido en el seno del sistema formal; no vale cualquier enunciado que se nos ocurra, sino sólo aquellos que ―por decirlo así― posean una significatividad en el seno del sistema formal. Pero el caso es que, entre todos estos enunciados significativos en el marco del sistema, unos muy bien pueden ser verdaderos y otros muy bien pueden ser falsos; de eso se trata: de distinguir los que sean una cosa y los que sean la otra, que es para lo que nos apoyamos en el cálculo formal. Si a un enunciado podemos llegar partiendo de otros verdaderos mediante las reglas del cálculo formal, tal enunciado será verdadero, o demostrable; y viceversa.

La verdad, es que esto no deja de generarme cierta violencia: ¿cómo puede ser que enunciados lingüísticos puedan ser manejados aritméticamente? No acabo de comprenderlo hasta el fondo. Pero el caso es que aquí está el meollo del argumento de Gödel, que esta correlación entre enunciados verdaderos y fórmulas aritméticas demostrables partiendo de los axiomas verdaderos es correcta. Si lo pensamos, algo similar pasa entre lo que es la geometría dibujada y la expresión algebraica de lo que allí se dibuja: hay una correlación adecuada entre una recta dibujada en un eje de coordenadas, y su expresión matemática; del mismo modo que el punto de intersección de dos rectas está perfectamente determinado por la resolución del sistema formado por sus dos ecuaciones; etc. ¿Acaso no se puede afirmar aquí que afirmaciones geométricas verdaderas se corresponden con afirmaciones aritméticas verdaderas? ¿Acaso no llegamos en ambos casos al mismo punto como solución de la intersección? Y, ¿en qué se parece una ecuación matemática a una figura geométrica? Pues en nada. Y, si lo pensamos mejor, ¿acaso no podemos expresar mediante enunciados meta-matemáticos las ecuaciones, o mediante enunciados meta-geométricos las figuras? Pues algo de eso hay. Sin embargo, me cuesta hacerme con ello, la verdad; supongo que para hacerse con esta comprensión hasta el fondo uno tendría que haber sido matemático… pero bueno.

El último paso para conquistar a Gödel: la autorreferencialidad

Vamos a dar un paso más, ¡uno más!, que será ya el último para poder hincar el diente con garantías a la demostración del teorema de Gödel, la cual intentaré explicar de modo global en el próximo post de esta serie. Este último paso tiene que ver con un modo de operar que cuanto menos llama la atención, como es la incorporación de los resultados de una función en la misma función: es lo que se denomina autorreferencialidad. Y claro, todo ello aritmetizado adecuadamente en el lenguaje de Gödel. ¿A qué nos referimos con esto? Veámoslo con un ejemplo.

Imaginemos que queremos expresar mediante un teorema el siguiente enunciado meta-matemático: siempre hay un número que sea el siguiente a un número dado; o sea, si tenemos un número cualquiera (y), siempre existirá su siguiente (llamémosle x). Esta idea, pues, se puede expresar con este teorema: (Ǝx) (x=sy); es decir, dado un número cualquiera y, existe un número x, tal que x es igual al siguiente número a y. Hasta aquí, todo correcto.

Igual que hemos visto en posts anteriores, podemos obtener el número de Gödel asociado a este teorema, mediante el procedimiento que en su día explicamos; pongamos que el número de Gödel de este teorema es m. Pues bien, del mismo modo que hemos expresado que hay un número siguiente a un número dado (en este caso el y), podemos expresar lo mismo, pero en vez de ser siguiente al número dado y, que sea siguiente al número de Gödel que expresaba el teorema, es decir, a m. Entonces, el teorema quedaría así: (Ǝx) (x=sm). Y bueno, de esta última fórmula también podemos obtener su número de Gödel. Según el procedimiento habitual se podría obtener sin problemas, como hemos hecho con el primer teorema.

Pero también lo podemos obtener por una segunda vía, en la cual aparece la autorreferencialidad, que es lo que busca Gödel. ¿Cómo? Pues sustituyendo en el primer enunciado, (Ǝx) (x=sy), la variable y por el número de Gödel asociado a este teorema m; el número que buscamos será el resultado de aritmetizar la fórmula cuyo número de Gödel es m, sustituyendo la variable y, por el número m. Si nos fijamos, lo que acabamos de hacer es introducir una función dentro de otra función (porque m es el número de Gödel de una función), y lo hemos formalizado dentro del sistema.

¿Qué es lo que expresa este nuevo teorema? Pues expresa un número obtenido a partir de otros dos, la variable y (de partida) y el valor m (resultado de asociar un número de Gódel a la expresión de partida). Hemos creado una nueva fórmula con una variable y con otra fórmula; digamos que hemos metido una función dentro de otra, el número de Gödel m (que es una función) dentro del cálculo. Son como fórmulas hablando de fórmulas.

A modo anecdótico, pues no lo vamos a emplear más, Gödel describe esta nueva situación como ‘sub (m, 13, m)’, la cual nos recuerda cómo la hemos obtenido, teniendo en cuenta que en la numeración de Gödel y se designa por el número 13, a saber: como el número de Gödel obtenido partiendo de la fórmula cuyo número de Gödel era m, pero sustituyendo en ella la variable y por el número m mismo. Cualquier otra expresión similar a esta, ya podemos interpretarla adecuadamente. Si, por ejemplo, tenemos la expresión sub (n, 17, n), sabemos que quiere decir que es el número de Gödel obtenido de la fórmula cuyo número de Gödel es n, pero sustituyendo en ella la variable cuyo número de Gödel es 17 por n. Esta nueva expresión, entonces, puede ser designada en cualquiera de los casos por su número de Gödel correspondiente.

Démonos cuenta de que, lo que ha hecho Gödel, es algo así como introducir la fórmula dentro de sí misma, y ello estableciendo siempre un mapeo con los enunciados meta-matemáticos correspondientes. Nada más y nada menos. Es la autorreferencialidad. Pues bien, con todo esto, ahora sí, ya estamos en condiciones de zambullirnos en el meollo del teorema.  

La aritmetización de un enunciado meta-matemático especial

Partiendo de lo establecido en el anterior post, pensemos en el siguiente enunciado meta-matemático, el cual ya nos irá haciendo sonar, después de tan largo camino, al famoso teorema de Gödel. Es sabido que, en el ámbito de las matemáticas, cuando se quiere demostrar un teorema, se realiza una serie de pasos partiendo de los ya conocidos y demostrados, junto con las reglas de transformación, etc. Podemos decir entonces que esa determinada secuencia de fórmulas es efectivamente la demostración de una fórmula dada, la que se quiere demostrar. Y ya sabemos, también, tal y como hemos estado viendo a lo largo de esta serie de posts, que, tanto la fórmula a demostrar, como la secuencia de ecuaciones que hemos empleado para la demostración, pueden contar con su correspondiente número de Gödel. Pues bien: llamemos ‘z’ y ‘x’ respectivamente a los números de Gödel correspondientes al teorema que queremos demostrar y a la secuencia de ecuaciones que hemos empleado para la demostración. Todo esto que hemos dicho, podríamos enunciarlo meta-matemáticamente del siguiente modo: ‘La secuencia de fórmulas con el número de Gödel x es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’. Y, como dicen Nagel y Newman, este enunciado meta-matemático que acabamos de hacer es perfectamente expresable según el lenguaje de Gödel, ya que «esta proposición es representada (o reflejada) por una fórmula definida en el cálculo aritmético que expresa relaciones puramente aritméticas entre ‘x’ y ‘z’».

Ciertamente, estos números de Gödel, sobre todo ‘x’, serán muy elevados, pero bueno, números de Gödel son. Esta relación entre ambos la expresa Gödel como una función, pero en vez de utilizar la expresión tan común f (x, y), la expresa como Dem (x, z). Esta expresión, Dem (x,z), expresa la relación aritmética resultante del mapeo de la relación meta-matemática anteriormente expresada sobre el lenguaje de Gödel. Es decir: expresa la traducción del enunciado meta-matemático en términos aritméticos según el lenguaje de Gödel.

Llegamos aquí a un punto importante, porque este mapeo nos permite saber si el enunciado meta-matemático que acabamos de hacer es verdadero o no, demostrando aritméticamente que la relación Dem (x,z) es lógicamente cierta dentro de los parámetros del sistema. O, dicho al revés: sabiendo que el enunciado meta-matemático es cierto, se puede afirmar que la expresión Dem (x,z) será aritméticamente lógica. La verdad, es que esto que realiza Gödel me parece espectacular, en el sentido de que ha sido capaz de poder mapear enunciados meta-matemáticos (que no sean ambiguos) en un sistema formal; es decir: ha sido capaz de traducir expresiones lingüísticas en expresiones aritméticas, lo que no deja de ser sorprendente. Ciertamente, a un servidor le faltan herramientas para poder hacer una crítica a todo esto, aunque entiendo que, por lo que poco que comprendo, me parece ciertamente eso: espectacular.

Ya para acabar, sólo notar que, del mismo modo que hemos expresado el enunciado meta-matemático ‘la secuencia de fórmulas con el número de Gödel x es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’ ―y que hemos expresado aritméticamente como Dem (x,z)―, también podemos decir su opuesto, ¿no?, a saber: ‘la secuencia de fórmulas con el número de Gödel x no es una prueba de la fórmula con el número de Gödel z’, en cuyo caso su expresión aritmética será ~Dem (x,z). Esto que digo no es gratuito, sino que será un tipo de enunciado que Gödel va a emplear en su teorema.

Aritmetización de enunciados meta-matemáticos

Con la aritmetización del sistema del cálculo formal (que vimos en este post) no hemos hecho sino seguir el primer paso de Gödel. El segundo paso tiene que ver con lo que reza el título de este post. Sabemos que, de cada sistema de cálculo, se pueden realizar enunciados meta-matemáticos (tal y como hacía Richard, aunque él no lo hiciera de modo adecuado). Pues bien, algo así fue lo que Gödel trató de hacer: un mapeo de enunciados meta-matemáticos, en definitiva. Su idea de partida fue que «todos los enunciados meta-matemáticos acerca de las propiedades estructurales de expresiones dentro del cálculo pueden reflejarse adecuadamente dentro del cálculo mismo». Es decir: probar el conjunto de todos los enunciados meta-matemáticos puede definirse empleando únicamente las propiedades del sistema aritmético definido.

¿Cuál fue su modo de razonar, para no caer en el mismo error que Richard? Básicamente se puede explicar así. Si se ha conseguido asociar un determinado número a cualquier expresión en el seno de un sistema de cálculo, análogamente se podrá asociar también un determinado número a todo enunciado meta-matemático asociado a la expresión de dichas relaciones; es decir, cualquier expresión meta-matemática acerca de las relaciones entre los elementos del sistema, puede construirse como una expresión acerca de los números de Gödel correspondientes, así como de sus relaciones, mediante elementos del propio sistema. ¿Cuál sería la diferencia con Richard? Pues que estos enunciados meta-matemáticos estarían íntimamente vinculados a la ‘naturaleza’ (podemos decir) del mismo sistema formal (cosa que no ocurrió en el planteamiento de aquél, cuyos enunciados eran extra-matemáticos, o ajenos a la ‘naturaleza’ del sistema formal al que hacían referencia).

Según esto, los enunciados meta-matemáticos quedarían también aritmetizados. Si lo he entendido bien, lo que quiere hacer Gödel es lo siguiente. Decimos una expresión meta-matemática sobre las relaciones formales. Dicha expresión, se refiere, efectivamente, a elementos del sistema formal y sus relaciones, a cada uno de los cuales le corresponde un número de Gödel. Pues bien, dicho enunciado meta-matemático se puede expresar también mediante números de Gödel, de modo que a cada enunciado le corresponderá su número de Gödel. Así, todo enunciado meta-matemático tendrá su correspondiente número de Gödel y, lo que es más interesante, entrará a formar parte del sistema formal que se había definido. Al formalizar los enunciados meta-matemáticos, éstos pasan a formar parte del propio sistema formal. Es un mapeo de los enunciados meta-matemáticos sobre un sistema formal, en el propio sistema formal.

Un ejemplo de mapeo que nos puede servir para comprender esto, y toda la información meta-matemática que implica, y que nos explican Nagel y Newman, es el de los números que nos son asignados cuando estamos a la espera de que nos atiendan en el supermercado . Si yo tengo el número 42, y otra persona el 35, no hace falta que el dependiente nos diga nada: sabemos que, en principio, por lo menos han ido a comprar 42 personas, y que la otra persona va antes que yo, etc. Mi situación en la cola, y todo lo que ello conlleva, queda expresado en un simple número. Del mismo modo, cada enunciado meta-matemático sobre el sistema formal, queda ‘resumido’ en una cifra; y esa cifra, siguiendo el camino inverso, nos lleva a ese, y sólo a ese, enunciado meta-matemático. De este modo, las relaciones de dependencia lógica que podamos establecer entre dichos enunciados, quedarán perfectamente reflejados en las relaciones de dependencia entre sus expresiones meta-matemáticas correspondientes.

Supongamos una expresión ‘a’, la que sea, que tendrá un número de Gödel. Supongamos otra ‘b’, que está contenida en aquella; es decir, que es una parte de aquélla, y que tendrá por su parte otro número de Gödel. La relación que hay entre ambas expresiones es que ‘una está contenida en la otra’, es decir, que la fórmula menor está contenida en la fórmula mayor. Si esto es así, se observa fácilmente que el número de Gödel de la pequeña será un factor del número de Gödel de la grande. Pues bien, siguiendo este esquema, la relación entre ambas también se podría axiomatizar, y calcular su número de Gödel correspondiente; si el enunciado meta-matemático es que la expresión pequeña está contenida en la grande, o que es un factor de la grande, se podría aritmetizar la expresión ‘ser factor de’, de modo que el enunciado meta-matemático expresado más arriba quedaría como ‘b es un factor de a’. Un caso real podría ser el siguiente. Supongamos un axioma (a), que diría (pVp)⸧p’; consideremos la expresión (b) (pVp), la cual se comprueba que es una parte del primer axioma. Pues bien, el enunciado meta-matemático quedaría así: (pVp) es una parte de (pVp)⸧p’. Tendríamos así como una función de dos variables, como lo que tradicionalmente conocemos como f(x,y) que, en este caso, quedaría expresada en el caso de las expresiones a y b. A la función general ‘y está dentro de x’, le aplicamos los valores concretos a y b, y quedaría f(a,b), es decir: ‘b está dentro de a’.

Con esto se consigue algo interesante, a saber: que, una vez mapeados los enunciados meta-matemáticos, gracias a las relaciones de dependencia entre los elementos del sistema formal, podemos, a su vez, investigar sobre las relaciones de dependencia que se puedan establecer entre los enunciados meta-matemáticos. La estructura del sistema formal, nos ayuda a investigar la estructura de las relaciones meta-matemáticas. Y digo ayuda, porque entiendo que esto no es sino un enfoque más determinado por la perspectiva lógico-formal; pero no será el único, atendiendo a otras ‘lógicas’.

Y, todo esto, ¿para qué? A mi modesto entender, lo que pretende Gödel es realizar una afirmación meta-matemática que, una vez ‘mapeada’, es decir, una vez aritmetizada o transformada al lenguaje aritmético en cuestión, demostrar que no puede ser obtenida por la derivación lógica inherente a dicho sistema aritmético. Recordemos que ya vimos que, cuando en un sistema todas sus verdades pueden ser deducidas de los axiomas, dicho sistema no es consistente. Entonces, si queda de manifiesto que existe una afirmación que no es demostrable lógicamente, queda de manifiesto también que el sistema axiomático en cuestión es consistente, ya que no pueden derivarse en él todas las verdades pertenecientes a su ámbito.

La aritmetización del sistema de cálculo formal

La verdad es que el planteamiento de Gödel fue complicado. A ver si podemos ir alcanzando poco a poco su comprensión, partiendo de la base que explicamos en el anterior post. A ver si poco a poco podemos ir recogiendo toda la información que hemos visto, para ir dando forma a su planteamiento. Lo primero que hizo Gödel fue establecer un sistema de cálculo formalizado (con todos los ingredientes que ya vimos en este post) en cuyo seno se pudieran expresar las notaciones y relaciones aritméticas corrientes, con sus fórmulas de cálculo en las que se combinan los signos que constituyen el vocabulario fundamental del sistema. También estableció los axiomas, a partir de los cuales se podían ir aplicando las distintas fórmulas en los correspondientes teoremas. Hasta aquí nada nuevo.

Una primera novedad que hizo Gödel fue la aritmetización de este sistema formal. ¿En qué sentido? Lo que hizo fue asignar un número a los signos elementales, a las fórmulas y a los teoremas, número que se conoce como el número de Gödel, numeración que, en principio, alcanza a todos los enunciados, independientemente de si son verdaderos o falsos. En referencia a los signos elementales, les asignó el número tanto a los signos constantes que expresan las operaciones fundamentales (‘no’, ‘si… entonces…’, ‘igual’, etc.), como a las variables numéricas (‘x’, ‘y’ y ‘z’) como a las proposicionales (‘p’, ‘q’ y ‘r’) y a las predicativas (‘P’, ‘Q’ y ‘R’), a base de números naturales, números primos, cuadrados de números primos y cubos de números primos, según el siguiente criterio. Los signos constantes (variables constantes y signos de puntuación) los identificó sencillamente con los números del 1 al 10 (por ejemplo, los paréntesis de apertura ‘(‘ y de cierre ‘)’ con los números 8 y 9 respectivamente; las variables numéricas con los primeros primos mayores que 10, o sea, 11, 13 y 17; las proposicionales con los cuadrados de éstos; y las predicativas con sus cubos. Así, por ejemplo, el número 11 equivale a ‘x’, el 13² a ‘q’ y el 17³ a ‘R’.

A partir de ahí, estableció también el modo de asignar números a las fórmulas y a los teoremas, mediante una serie de normas que él estableció. Quizá el mejor modo de explicarlo sea con un ejemplo. Pensemos en la siguiente fórmula: ‘todo número tiene un sucesor inmediato’; expresado como una fórmula, se puede decir que ‘hay una x, tal que x es el inmediato sucesor de y’. Y en notación aritmética, (∃x)(x=sy). Cada uno de estos signos tiene ya establecido un número: ‘(‘ el 8; ‘∃’ el 4; ‘x’ el 11; ‘)’ el 9; ‘=’ el 5; ‘s’ el 7; e ‘y’ el 13. Pues bien, el número asociado a esta fórmula se obtiene elevando los sucesivos números primos a las potencias establecidas por los números asociados a cada signo, multiplicándolos. Como la fórmula tiene 10 elementos, necesitaremos una serie de 10 números primos, que será: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. El número de Gödel de esta fórmula sería el resultado de multiplicar todos los números primos, elevados cada uno a la potencia que define el valor de cada uno de los signos que intervienen en la fórmula. Así el resultado sería elevar 2 al número de (; 3 al número de ∃; 5 al número de x; etc. Y sería este resultado: 2⁸ · 3⁴ · 5¹¹ · 7⁹ · 11⁸ · 13¹¹ · 17⁵ · 19⁷ · 23¹³ · 29⁹. Es una metodología no demasiado compleja, pero sí farragosa. Pero, de este modo, a cada fórmula se le aplicaría también un número. Y, de manera análoga, a toda secuencia de fórmulas: supongamos las fórmulas (1), (2) y (3) con sus números de Gödel respectivos n1, n2 y n3. Dicha secuencia tendría el número de Gödel siguiente: 2ⁿ¹ x 3ⁿ² x 5ⁿ³.

¿Qué ha conseguido Gödel con esto? Pues aritmetizar completamente todo el cálculo formal de su sistema. Ha logrado establecer una correspondencia entre los elementos y fórmulas de su sistema y ciertos elementos de la serie natural de los números enteros. Mediante dicho método, toda expresión formal tiene su correspondiente número de Gödel. Y tiene uno y no otro. De modo que conociendo uno de estos números, podemos determinar perfectamente de qué fórmula se trata. Y además, dado un número entero cualquiera, podemos averiguar si es un número de Gödel o no; es decir, si responde a una expresión concreta la cual puede ser ‘recuperada’ o ‘restaurada’ a partir de él. ¿Por qué? Si es un número del 1 al 10, es evidente que el signo que determina se puede identificar, porque así se ha definido. Si es mayor que 10, tal número puede ser descompuesto en factores primos y, a través de ellos, identificar sus elementos. Dicen Nagel y Newman: «Si es un primo mayor que 10 o la segunda o tercera potencia de este primo, es el número de Gödel de una variable identificable. Si es el producto de primos sucesivos, cada uno elevado a alguna potencia, puede ser el número de Gödel de una fórmula o de una secuencia de fórmulas», las cuales pueden ser identificadas exactamente, y reconstruir la expresión a la que se refieren.

Por ejemplo: sea el número 243.000.000. ¿Es un número de Gödel? Su descomposición en números primos es la siguiente: 2⁶ · 3⁵ · 5⁶, por lo que apunta maneras. Se trataría de una fórmula de 3 elementos (porque hay tres números primos: 2, 3 y 5), elementos que son los que se corresponden con los números respectivos de los exponentes: 6, 5 y otra vez 6; que, según sus definiciones previas, son el número 0, el signo ‘=’, y otra vez el número 0. O sea, la expresión es 0 = 0. Nos damos cuenta de que al número de Gödel 243.000.000 le corresponde la expresión 0 = 0. Operando al revés, partiendo de la expresión 0 = 0, habríamos llegado al mismo número de Gödel, 243.000.000.

Con esto no hemos hecho más que empezar. El siguiente paso tiene que ver con la aritmetización ya no de los elementos propios del sistema formal, sino de enunciados meta-matemáticos. Pero eso lo dejo para el siguiente post.

Del mapeo al planteamiento de Gödel

Como decíamos en el anterior post, la paradoja de Richard, a pesar de ser falaz, nos podía ser muy útil en tanto que nos introducía a un concepto matemático muy interesante, y que nos iba a ayudar la estrategia de Gödel; con él ya tenemos todos los ingredientes: se trata del concepto de mapeo. ¿Qué es un mapeo? La verdad es que se trata de algo a lo que estamos muy acostumbrados todos: consiste en reflejar un sistema en otro, en el cual nos es más cómodo trabajar. El ejemplo más cotidiano sería un atlas geográfico; un atlas es un mapeo, en el sentido de que se ha establecido como una proyección de la geografía real de nuestro planeta sobre el papel Para conocer el relieve de Perú no nos tenemos que ir a Perú, sino que podemos consultar nuestro atlas y lo conoceremos. Otro ejemplo sería la proyección de volúmenes sobre el papel: figuras en tres dimensiones nos aparecen en dos (esferas se proyectan en círculos, pirámides en triángulos...). Otro mapeo, menos intuitivo, pero también mapeo, al fin y al cabo, es la proyección matemática de las figuras geométricas, también conocido como… álgebra: cualquier figura geométrica (una circunferencia, una recta, una parábola...) puede ser ‘traducida’ o ‘proyectada’ en una ecuación matemática, que la expresa. Así, podemos determinar, por ejemplo, las intersecciones de dos figuras, bien geométrica, bien algebraicamente.

Pues eso es un mapeo: el reflejo o la proyección de un sistema en otro, de modo que una «una estructura abstracta de relaciones comprendida en un campo de ‘objetos’ se mantiene también entre ‘objetos’ (generalmente de diferente tipo a los de la primera serie) de otro campo» . Una cosa es una esfera, y otra un círculo resultado de proyectar dicha esfera sobre el plano; una cosa es una recta y otra la ecuación matemática que la define; pero tanto unos como otros no dejan de ser objetos, cada uno de diferente índole, e intrínsecamente relacionados entre sí.

Y, si recordamos la paradoja de Richard, algo así es lo que hacía su autor: mapear ciertos contenidos meta-matemáticos proyectándolos o reflejándolos sobre un sistema formal. Pues bien, ésta es la idea que recoge Gödel, intentando no caer en el mismo error en que cayó Richards (quien, en definitiva, confundió lo meta-matemático con lo matemático en la definición de su sistema). Lo que Gödel mostró es que «los enunciados meta-matemáticos acerca de un cálculo aritmético formalizado pueden en verdad representarse mediante fórmulas aritméticas dentro del cálculo», nos explican Nagel y Newman. La diferencia entre el planeamiento de Richard y el de Gödel estriba —a mi modo de ver— en que los enunciados meta-matemáticos eran, en definitiva, ajenos a la dinámica formal del sistema, mientras que los de Gödel no.

En su pensamiento estaba este planteamiento de base: «Si enunciados matemáticos complejos acerca de un sistema formalizado de aritmética pudieran, como él lo esperó, traducirse en (o estar reflejados por) enunciados aritméticos dentro del sistema mismo, se obtendría una importante ventaja para facilitar las demostraciones matemáticas».

Es algo que parece de locos. O sea: tenemos un sistema matemático definido. Sobre ese sistema matemático podemos decir cosas: es el ámbito de lo meta-matemático (tal y como Hilbert nos enseñó). Pues resulta que estas proposiciones meta-matemáticas se pueden formalizar, es decir, se pueden representar mediante formulaciones matemáticas, e introducirlas así en el seno de las inferencias formales que se establecen en ese sistema. Parece algo así como si hubiera una involución, o una absorción, de algo externo a un sistema que se introduce en el sistema mismo. Y ello sin caer en los errores en los que incluyó Richard, ya que esos enunciados meta-matemáticos no eran ajenos al ámbito de lo formalmente matematizado.

Y, todo esto, ¿para qué?, ¿qué es lo que pretende Gödel? Una vez establecida esta posibilidad de formalizar correctamente enunciados meta-matemáticos, lo que Gödel trataba de hacer es mostrar que, tanto una fórmula aritmética correspondiente a la formalización de un enunciado meta-matemático verdadero, como la fórmula aritmética correspondiente a su negación, son demostrables dentro del sistema. Ya vimos en este post que ello implicaba que tal sistema ya no era consistente, con lo cual se ponía en evidencia que tal sistema (como cualquier otro) no podía agotar el campo de las verdades aritméticas que dependen de él; o sea, su famoso teorema. Dicho en palabras de los Nagel y Newman: «No puede establecerse ese enunciado meta-matemático, a menos de usar reglas de inferencia que no pueden representarse dentro del cálculo; de tal manera que, para probar el enunciado, deben emplearse reglas cuya propia consistencia puede ser tan discutible como la consistencia de la aritmética misma».