El lugar de Cantor en las matemáticas decimonónicas

Georg Cantor (1845-1918) fue uno de esos grandes genios no demasiado conocidos, pero que revolucionó el mundo de las matemáticas. Con él se empezaron a ‘manejar’ dos importantes conceptos: el de conjunto (contribuyendo al desarrollo de la conocida como teoría de conjuntos) y el de infinito. Ello en un ambiente poco preparado para tales novedades, lo que supuso una buena dosis de incomprensión. Es fácil que ello estuviera en el origen de sus crisis maníaco-depresivas. Como suele ocurrir tantas veces, el reconocimiento a su labor ocurrió tiempo después de su muerte, reconocimiento expresado en estas palabras de Russell en su Autobiografía: «Fue, en mi opinión, uno de los mayores intelectos del siglo XIX», dice Navarro. E insiste: «Cantor pertenece a la élite de los que hacen virar noventa grados el rumbo de la ciencia con el impacto de una sola idea. Newton lo hizo con la de gravedad, Einstein con la de relatividad; Cantor lo hizo con la de conjunto».

¿Qué es un conjunto? Por conjunto se puede entender una colección de objetos. Una definición sencilla, intuitiva, pero muy útil. Un montón de libros, unos cuantos gatos, nubes en el cielo… todo ello conforma conjuntos. La única condición que se puede exigir es que estén bien definidos los elementos que lo forman. Por ejemplo: se puede definir el conjunto de las personas de España que tengan 18 años, pero no se puede definir el conjunto de las personas de España que el año que viene tendrán 18 años, pues evidentemente no se puede saber; del mismo modo que no podemos definir el conjunto de los granos de arroz que me comeré el mes que viene, o cuántos pingüinos morirán en el próximo año.

Surgió pronto el problema de qué ocurría con aquellos conjuntos cuyos elementos no tenían fin, tal y como acontece, por ejemplo, con el conjunto de los números naturales, que es infinito. Ciertamente, el concepto de infinito ya era conocido en la antigüedad, aunque no tanto como entidad matemática, sino más bien como una especie de concepto límite, como un modo de hablar de la enorme cantidad de números naturales existentes, por ejemplo.

Y así permanece en el ámbito cotidiano: todos tenemos una idea de lo que es infinito, pero comprender con rigor qué quiere decir exactamente ‘infinito’, qué significa, qué entidad tiene, no es en absoluto sencillo. No fue hasta el siglo XIX que este asunto fue tratado matemáticamente, gracias básicamente a nuestro protagonista.

Cantor nació es san Petersburgo el año 1845, hijo de padre danés y madre alemana. Durante su adolescencia su familia se instaló en Alemania. Su vida académica fue discreta, desarrollándola principalmente en la modesta universidad de Halle. Su ascenso académico estuvo dificultado por la oposición de su mayor adversario matemático, Kronecker. Con el paso de los años tal enfrentamiento desapareció, pero la salud de Cantor era ya delicada, impidiéndole el ascenso que suponía enseñar en Berlín.

¿Cuál fue el origen de tal enfrentamiento? Kronecker fue el principal precursor de los denominados constructivistas, es decir, de aquellos matemáticos que entendían que el punto de partida de las matemáticas eran los números naturales, a partir de los cuales se debían construir los diferentes teoremas y entidades matemáticas (Brouwer seguirá esta tradición con su ‘intuicionismo’). En este sentido, desconfiaba de todo lo que no fuese apresable por una mente matemática, como por ejemplo los números irracionales. «Dudaba de la existencia de los decimales infinitos y de todo cálculo o demostración que implicara un número infinito de pasos. Solamente lo finito, los números naturales y lo que de ellos se deducía por procesos finitos, era legítimo», afirma Navarro. Cantor, con sus análisis sobre el infinito, se erigía aun sin pretenderlo en su principal oponente. Si la matemática tenía que fundarse en los números enteros y en sus combinaciones finitas, difícil encaje tendrían conjuntos de infinitos elementos.

El principio de laicidad en la práctica: la escuela

Hoy en día no deja de ser un reto para las sociedades democráticas construir una sociedad multiculturalmente integrada, un cambio de paradigma que cohesione los grupos humanos que conviven independientemente de su procedencia, raza o cultura, todo ello vehiculado en torno a la categoría clave por excelencia: la dignidad humana. Esta idea está en el imaginario de no pocas personas, e incluso de no pocas utopías: la vida pacífica, en armonía, plena de bienestar, etc.; pero una cosa es soñar con esto, y otra muy distinto poner el empeño ‘de verdad’ en conseguirlo, algo que en absoluto es sencillo ni a nivel individual n a nivel social. Quizá el pensamiento de Ricoeur nos pueda ayudar.

Cuando uno se pone a pensar en el principio de la laicidad que propone Ricoeur, no cabe duda de que es un principio inspirador en una sociedad democrática contemporánea, independientemente de lo difícil que sea su puesta en práctica en un contexto concreto. En este sentido, se define más como una actitud o una inspiración que por un contenido detallado explícitamente. Motivo por el cual puede ser aplicado a otros aspectos de lo social: efectivamente, el espíritu que inspire a la laicidad puede muy bien ser extrapolado a todos aquellos asuntos que haya que abordar en los que se ponga de manifiesto la pluralidad de opiniones o visiones entre los distintos sectores de nuestras complejas sociedades contemporáneas. 

En el caso que nos ocupa —el de la laicidad— se puede ver en la escuela un claro ejemplo de ello. Cómo se trate el asunto de la laicidad en ella no puede ser ni el mero reflejo de los intereses ideológicos dominantes en la sociedad, ni el de la laicidad propia del Estado (de abstención). Ricoeur entiende que entre ambos polos debe encontrarse un punto de equilibrio, afín a la realidad de la escuela, además de a otras instituciones intermedias; un tercer modo de laicidad que no está dado, sino que hay que construir. Parece evidente que la escuela no deba convertirse en una expresión de tendencias ideológicas dominantes, pero ya no lo es tanto que no se equipare (o trate de equipararse) a la laicidad de abstención que caracteriza al Estado en general. ¿Por qué no? Pues porque esa neutralidad indiferente a la que aspira el Estado, más allá de su posibilidad como tal, está muy lejos de ser la adecuada en los ámbitos educativos: lo propicio en la escuela no tiene que ver ciertamente con contenidos dogmáticos, pero parece difícil que tenga que ver con una neutralidad indiferente porque, más que ser una ‘plaza desierta’, la escuela debe ser aquel espacio que enseñe a los jóvenes a la discusión y a la confrontación. Precisamente porque no hemos sido capaces de dar forma a esta laicidad tercera, en la sociedad se cae con tanta facilidad en el dogmatismo y en la represión, explican los hermanos Domingo Moratalla.

En opinión de Ricoeur, esta laicidad tercera debe recoger el principio de justicia que inspira al Estado junto con el principio de verdad que inspira a la sociedad civil. El asunto pasa por encontrar ese equilibrio. Pero es preceptivo ir tras él, pues no parece razonable pensar en una escuela en la que no se refleje de algún modo la pluralidad de nuestras sociedades. Más que negar la existencia de la pluralidad, o de rechazar cualquier posibilidad de la misma, en la escuela se debe tratar de educar en aras de poder gestionarla constructivamente, para lo cual hay que insistir en dos cuestiones: a) informar honestamente de los contenidos de las distintas creencias y convicciones, lo cual en absoluto es algo realizado ni en vías de realizar, lo que supone la existencia de inmensas lagunas culturales; y b) formar para la discusión, más allá de la mera batalla dialéctica.

Ricoeur se hace eco de las consecuencias que puede traer una aplicación indebida del principio de laicidad. Cuando se piensa cómo hacerlo efectivo en un centro educativo, uno debe preguntarse por su interpretación y por su aplicación: qué se pretende conseguir y cómo hacerlo. Porque no es suficiente apelar al principio, el cual está muy bien: hay que saberlo aplicar, lo que pasa por interpretarlo adecuadamente en el contexto concreto. En definitiva, lo que está en juego es cómo coordinar la laicidad neutral con las libertades civiles. Uno puede aplicar prácticas en favor de la pretendida neutralidad, pero también se debe cuestionar sus posibles consecuencias. Porque esto es un problema no resuelto: cómo aplicar el principio de neutralidad, en este caso, en el ámbito de la escuela.

¿Cuál es el problema? Ricoeur aquí hila muy fino, independientemente de que se esté más o menos de acuerdo con él. Recordemos que, en la Francia reciente, este problema ha estado muy presente con los fundamentalismos musulmanes y el uso del velo por parte de las alumnas de esta tradición. Él se cuestiona si el principio de neutralidad que debe inspirar al centro se puede aplicar haciéndolo descender sobre los distintos alumnos, por entender que podría ser contraproducente. Dice: «La laicidad es el compromiso de garantizar a cada uno la posibilidad de emanciparse de sus pertenencias y de sus orígenes. La escuela puede conducir al joven a semejante emancipación, pero no exigirla desde el comienzo».

¿Qué quiere decir esto? A donde nos lleva Ricoeur es a reflexionar sobre cuál es el mejor modo de enseñar a la joven con velo los valores democráticos, en virtud de los cuales quitárselo. ¿Se le enseña de verdad obligándola a quitárselo? Continua Ricoeur: «la escuela ofrece la experiencia concreta de los valores de diálogo y de conocimiento, libre de toda autoridad religiosa. Tal experiencia es la que forma a los espíritus en la laicidad, más eficazmente que una obligación previa suscrita sin adhesión alguna». Si la escuela obliga a quitarse el velo, está tratando de enseñar una actitud democrática bajo un procedimiento de dudoso valor democrático. Ello supone una contradicción.

Desde luego esto es algo que da que pensar, independientemente de que se esté más o menos de acuerdo. A donde nos quiere llevar Ricoeur es a que nos planteemos cuál es el modo más efectivo en el que una escuela enseña verdaderamente los valores democráticos: él apuesta por potenciar educativamente experiencias de cuestionamiento de las propias creencias, pero no excluyendo a los jóvenes desde el principio. ¿Qué aprende una joven a la que se le expulsa de un centro por llevar el velo, o se le permite permanecer en él quitándoselo obligadamente? ¿Se sentirá mejor integrada? ¿Habrá aprendido alguna lección, no para cumplir las normas, sino para vivir democráticamente cuando no tenga sobre sí el peso de la ley? Para pensar. Lo que hace Ricoeur es apostar por una educación de la responsabilidad y de la autonomía, algo con lo que no se nace de fábrica, sino que cada cual ha de conseguir gracias, en teoría, a la educación social. ¿Consigue esta escuela dogmática educar en la responsabilidad y en la autonomía? «Teóricamente apostamos por la autonomía y la responsabilidad, pero, sin embargo, en la práctica, nuestra sociedad fomenta la heteronomía», crítica que puede ser extendida a no pocos ámbitos de nuestra conducta social y de la de las instituciones.

Boltzmann: un visionario incomprendido

Hay una ecuación, sorprendente por su sencillez, cuya repercusión para la ciencia contemporánea fue excepcional: S = K·logW, la cual se encuentra grabada en un busto del cementerio de Viena, sobre la tumba de un científico diferente, quizá un tanto desconocido entre los ajenos a la física, pero fundamental en su decurso. Me refiero a Ludwig Boltzmann (1844-1906), un hombre brillante, pero un tanto atormentado. Se ha difundido que se suicidó por los continuos enfrentamientos que mantenía con sus colegas a causa de incomprensiones sobre su revolucionario pensamiento, pero no parece que fuera así pues, consecuencia de toda esta controversia y fruto de ella, no dejo de ganar en reputación, además de que, a la postre, contribuyó a la difusión de dicho pensamiento. La verdad es que no se sabe muy bien por qué lo hizo; lo cierto es que durante sus últimos años fue desarrollando un síndrome maníaco-depresivo, suicidándose por causas desconocidas hasta la fecha, imputables seguramente a la propia enfermedad. Fue en unas vacaciones en Duino, en 1906, cuando su hija se lo encontró colgado de una cuerda en la habitación del hotel en la que estaban descansando. Paradójicamente, ignorando que, unos pocos meses antes, un joven y todavía desconocido Albert Einstein publicó un artículo postulando la realidad de los átomos más allá de cualquier duda razonable, materializando o verificando experimentalmente la que seguramente fuera su mayor apuesta: la existencia física de los átomos.

Boltzmann vivió en primera fila los prolegómenos decimonónicos de la revolución científica del cambio de siglo, y cómo se iban planteando continuamente nuevas teorías que trataban de dar explicación a todos los nuevos descubrimientos que se iban sucediendo y que ya no cabían en el paradigma de la nuova scienza de la modernidad. En estas nuevas teorías no todo era ‘científico’, sino que había mucho de interpretación (filosófica) del nuevo marco, lo cual trascendía directamente a la propia investigación. Sirva como ejemplo el debate entre atomistas y energetistas, en el que nuestro protagonista tomó parte activa en favor de los primeros. Boltzmann fue un hombre inteligentísimo, no sólo con una gran capacidad de estudio e investigación, sino también para la enseñanza. A ésta le dedicó mucho espacio (como Oersted, se me ocurre) lo cual, si bien le robó tiempo para poder avanzar más en su trabajo, sino duda propició que numerosos estudiantes se vieran beneficiados por sus dotes divulgativas, orales y escritas.

Fue uno de los grandes protagonistas en el desarrollo de la ‘mecánica estadística’, mediante la cual se trataba de dar explicación a ciertos fenómenos físicos desde un enfoque atómico-molecular de la materia, de los gases. Esto es algo que hoy en día está generalizadamente aceptado: visto desde acá, no deja de llamar la atención que en su tiempo hubiese tantos físicos (muchos importantes) que no lo aceptasen.

El interés por esta disciplina no fue casualidad, pues cuando Boltzmann vino el mundo la Revolución Industrial ya estaba bien establecida, poseyendo las máquinas en ella un gran protagonismo, sobre todo la máquina de vapor. Si digo esto es porque el intento de comprender su funcionamiento ―la relación entre el calor y el trabajo― suscitó el esfuerzo de no pocos científicos, propiciando el nacimiento de la termodinámica como tal, a la que se vinculan nombres tan ilustres como Carnot, Joule, Kelvin o Clausius. Fue esta una época en la que se trató de comprender científicamente la naturaleza del calor. En este contexto, en el año 1857, Clausius publicó un artículo titulado “El tipo de movimiento que llamamos calor”. En él asumía la composición molecular de los gases, postulando que la temperatura y la presión de éstos era consecuencia de los movimientos de las partículas que lo componían; es decir: «la temperatura no sería más que una manifestación estadísitica de la energía cinética de los átomos que componen el gas», explica Navarro. Esta propuesta alcanzó cierto eco en algunos jóvenes investigadores de entonces, como James Clerk Maxwell, quien la profundizó, y observó que las magnitudes de los gases no sólo dependían de la velocidad media de sus partículas, sino también de su distribución de velocidades. Y aquí entra en escena nuestro protagonista: Boltzmann estudió en la universidad de su ciudad natal, Viena, en la que uno de sus profesores ―Josef Stefan― le inició en los trabajos de Maxwell sobre la teoría molécular del calor.

Su punto de partida fue dar sentido físico a la fórmula de Maxwell de la distribución de velocidades de las partículas de un gas. Para ello, se centró en la variación que experimenta la presión de un gas cuando cambia su altura. Si la presión de un gas se debe a las velocidades de sus partículas, y disminuye con la altura, ello quiere decir que las velocidades también deben disminuir. Como dice Navarro, «Boltzmann calculó tal efecto siguiendo la distribución de las velocidades de Maxwell y comprobó que coincidía con la presión observada en el gas». De este modo, lo que hizo no fue sino vincular ¡exitosamente! un modelo atómico teórico con una magnitud medible empíricamente (la presión). Con todo, incluyó una variable más a considerar para dar razón de las magnitudes observables macroscópicamente, a saber: además de las velocidades de las partículas, su vibración. Maxwell reconoció el acierto, asumiendo que su fórmula debía ser corregida, motivo por el cual su fórmula se conoce en la actualidad como ‘ley de la distribución de velocidades en un gas de Maxwell-Boltzmann’.

Boltzmann consiguió en 1869 una cátedra en la universidad de Graz, la de Física Matemática, ciudad en la que vivió la mayor parte de su vida. Fue un hombre polifacético: enseñó física matemática en Múnich, física teórica en Leipzig y ¡filosofía! en Viena. De hecho, defendió la colaboración entre ciencia y filosofía, a las cuales no veía tan distantes. Fue él quien introdujo y sistematizó el concepto de entropía (S), dando lugar a un enfoque de la materia que aún hoy en día despierta curiosidad, y confusión. Este concepto cristalizó a partir de sus vastos conocimientos en las disciplinas principales de su época: mecánica, física molecular, termodinámica y electromagnetismo, combinándolos con los filosóficos propios de su contexto científico, porque los tiempos que estaba viviendo suponían una revolución de la mentalidad clásica tan importante, tanto como para considerar necesario interesarse por las lecturas filosóficas de los problemas naturales. Como explica Schrödinger, la entropía es un concepto un tanto abstracto, pero el caso es que es una magnitud física mensurable, igual que la longitud de un palo o la superficie de una habitación.

El sentido de la historia

Cuando Jaspers se plantea el sentido de la historia no lo hace desde la perspectiva de una direccionalidad, o de una teleología; en su opinión, si bien esta direccionalidad se puede apreciar a nivel científico, o técnico-social, la cosa es muy distinta cuando se plantea desde una perspectiva existencial o moral. Él entiende (mediados del siglo XX) que, desde esta clave, lo que muestra la historia de la humanidad es una marcha más bien caótica, con ‘esperanzadores logros’, pero también con ‘devastadoras destrucciones’; en su opinión, «la cuestión del sentido de la historia no es soluble por medio de una respuesta que lo enuncie como una meta». ¿Cómo, pues? Para Jaspers, lo que cabe esperar de los hombres no se expresa sino en la misma historia: la historia es el ‘lugar de la revelación’, y ello no sólo por lo que el hombre ‘es’, sino también y sobre todo por lo que ‘puede llegar a ser’; por lo que ya es él, pero también por lo que es capaz de dar de sí mismo. En la historia, las personas se relacionan con otras personas, las sociedades con otras sociedades, y es ahí donde se expresa la humanidad de la que cada cual participa. ¿Es el final de la historia una dicha absoluta, un paraíso en la tierra? Difícilmente. Quizá sea más razonable articular ese final en torno a las posibilidades de una humanidad que se abre a las profundidades de su ser, permitiendo que así se despliegue en el tiempo en su mayor autenticidad. No se puede esperar nada, si lo espero de fuera; se puede esperar todo, si se espera de dentro, si la humanidad se confía a la presencia del ser en sí misma.

Algo así entendía C.S. Lewis cuando, en La imagen descartada, hablaba del historicismo, es decir, «la creencia en que, mediante el estudio del pasado, podemos aprender una verdad no sólo histórica, sino también metahistórica o trascendental». En su opinión, los mejores historiadores no buscan otra cosa que ‘historia’ en sus investigaciones, cayendo raras veces en el historicismo; el historicista ―en cambio― ve decisiones divinas en los acontecimientos humanos, más que decisiones humanas en el seno de las relaciones de todo tipo que pueda establecer. Ojo: ello no se opone en absoluto a la creencia de que haya en la historia un ‘argumento divino’, sino tan sólo al modo de atenderlo, pretendiendo adivinarlo por parte del conocimiento humano. De hecho, si los avatares de la historia estuvieran dirigidos por la mano divina, o por la diosa Fortuna como prefieren otros, difícilmente se podría realizar una filosofía de la historia: ¿a santo de qué? La historia se reduciría en este caso a leer un libro cuyo texto ya ha sido previsto; «si la mayoría de los acontecimientos suceden porque la Fortuna hace girar su rueda, ‘complaciéndose en su beatitud’, y dando a cada uno su baza, el suelo se hunde bajo los pies de un Hegel, un Carlyle, un Spengler, un marxista e incluso un Macaulay». En el fondo, bajo los pies de todos porque, ¿qué nos cabría esperar?

Si bien no hay una ‘ley del progreso de la historia’, no por ello se deja de observar una cierta linealidad en ella, linealidad no dada necesariamente, sino como cristalización de posibilidades humanas. Es un progreso probable, no necesario. El sentido de la historia pasa por la ‘unidad de la humanidad’, no tanto entendida como un hacer todos lo mismo, sino más bien como un respeto universal en el seno de la plural diversidad.

Dice bellamente Jaspers: «La unidad sólo puede sacarse de las honduras de la historicidad, no como un contenido susceptible de ser sabido en común, sino sólo en la ilimitada comunicación de lo históricamente diverso en la inacabable conversación que se produce a la altura de una pura lucha amorosa». Esta unidad compete a los fundamentos de la existencia, más allá de los modos concretos y particulares en que dicha existencia se dé fácticamente, sin aferrarse necesariamente a ningún contenido concreto como válido universalmente, sea tanto a nivel político-social como religioso; atentos a la escucha de ese palpitar espiritual que late en el seno de cada cual, no parece irrealizable un encuentro, encuentro que, ajeno a aquél, se presentaría como irremediablemente ilusorio o utópico. Ningún orden jurídico es totalmente justo, pero siempre se puede trabajar para que vaya siendo cada vez más justo; ningún orden social es totalmente equitativo, pero siempre se puede trabajar para que lo sea más; ninguna relación personal es totalmente amorosa, pero siempre se puede trabajar para que tineda hacia ahí; siempre a la luz de que esa tensión espiritual hacia el crecimiento de la humanidad ha de buscarse en el interior, en nuestra esencia personal, en ese corazón donde palpita el misterio de nuestra existencia.

Para nada hay que hacer esto desde la ingenuidad. Basta echar un vistazo a nuestro alrededor para observar cómo el egoísmo, la sofística, el engaño, la inautenticidad, el rechazo, la violencia, la corrupción, la injusticia… impregnan nuestras relaciones y nuestras instituciones, tanto que uno se plantea si las gobiernan personas o alimañas. Esto es algo de lo que no se libra nadie: a menudo nuestras propias experiencias y azares desgarran nuestro corazón, sumidos en una incoherencia existencial que nos desorienta y desubica. Pero, a pesar de todo, ¿no late en nuestro interior un pugnar por elevarnos sobre todo ello, sobre nosotros mismos?, ¿de dónde emerge? De ningún otro lugar que nuestro interior espiritual, el cual se descubre, sencillamente, cuando uno lo atiende debidamente. Hemos de ser conscientes de las circunstancias de nuestra época, y también de que no nos determinan (por mucho que nos condicionen), sino que muy bien podemos distanciarnos de ellas buscando nuevos itinerarios desde la esfera de nuestra esencia personal. Si no nos distanciamos de lo que ocurre a nuestro alrededor, si no lo pensamos críticamente, en el fondo nos estamos haciendo cómplices de ello. Y ese distanciamiento sí que está en nuestra mano; basta, tan sólo, con que aprendamos a mirar a nuestro corazón, donde habita el ser de la trascendencia que nos infunde la vida. «No podemos hacer recaer lo que podemos ser sobre nuestra época, sometiéndonos a ella, antes debemos intentar penetrar, a través de un iluminar la época, hasta allí donde podemos vivir del fondo profundo». En esta empresa acertaremos y nos equivocaremos, triunfaremos y fracasaremos; pero ni triunfar ni fracasar es lo definitivo, porque la historia no es la última instancia, ya que ésta descansa en esa verdad que se funda en la trascendencia de lo profundo que habita en nuestro corazón. «Cruzando transversalmente la historia y apropiándonosla así, echamos el ancla en la eternidad».

La noción de progreso (biológico) hasta la modernidad

Desde siempre ha habido una idea en el imaginario colectivo en referencia a que las especies vivas de la naturaleza podían ordenarse según una gradación natural creciente, una cadena del ser. Idea que, si bien en la antigüedad ―así en Aristóteles― poseía una impronta ontológica, en la modernidad la adquirió más empírica, justo la época en que los estudios biológicos de la evolución estaban empezando a extenderse. La incipiente biología como disciplina científica, a pesar de su carácter empírico, no dejaba de estar impregnada por esta noción jerárquica de las especies, aunando la ontología clásica con el paradigma teológico judeo-cristiano. Así, naturalistas tan importantes como Buffon, Lamarck o el mismo Darwin, no dudaban de que la evolución tendía hacia un perfeccionamiento progresivo de las especies. Esto que también está presente en el imaginario actual en no pocos casos, lo cierto es que hoy en día está en cuestión, pues no se tiene tan claro a qué nos referimos cuando hablamos de progreso biológico o de perfeccionamiento de las especies.

A la consolidación de esta idea de progreso se debió el hecho de su contacto con otros ámbitos diferentes al biológico, como hizo Spencer al considerarla no como una ley particular del mundo de la vida, sino como una ley universal, aplicable también a las realidades sociales o culturales específicamente humanas. Según esta ley universal, todo lo simple se dirigía hacia lo complejo per se, y ello suponía un perfeccionamiento, una mejoría. Este giro de Spencer no fue original suyo del todo, sino que se sumó a una corriente nacida durante el siglo XVII, cuando Bacon entendía ya el conocimiento como un aumento gradual del saber, en virtud de lo cual el ser humano podía disponer de él en orden a su bienestar, a su propio beneficio: el conocimiento era una herramienta para que la raza humana pudiera aumentar su poder y su dominio sobre el universo. Con esto tenía que ver el progreso.

Condorcet también entendió el progreso en términos de mejoramiento continuo, identificando progreso con la capacidad de ir almacenando cada vez más información, a modo de memoria colectiva de habilidades y conocimiento. Aunque, sin ánimos tan pragmáticos, lo cierto es que la idea de progreso como algo propio de la humanidad en general estaba muy presente en la Ilustración, así en Leibniz, o en Kant.

Especial interés tiene para nosotros Leibniz, por la aplicación de su pensamiento a la disciplina biológica. Leibniz entendía a la naturaleza como un todo, cuya comprensión no cabía alcanzarla desde la ‘suma de sus partes’, sino que era algo más que esta suma: era una totalidad. Leibniz «fue uno de los primeros pensadores que vieron la importancia de las cualidades que definen al conjunto, en lugar de simplemente la suma de las cantidades o partes de que se compone», explican Barahona y Ayala. Se puede decir que fue uno de los precursores de la que más tarde se denominaría ‘Teoría general de los sistemas’. Pues bien, a causa de ello, su preocupación pasaba por leer toda la diversidad de la naturaleza a la luz de la totalidad, a la luz de ese paraguas de plenitud hacia el cual apuntaba, y en el seno del cual a la especie humana todavía le quedaba mucho margen por crecer, por mejorar. Porque hacia ello tendía la naturaleza humana: en el seno de ese progreso creciente y continuo, hacia la mejor posibilidad de sí misma, algo vehiculado por una razón más elevada, más noble. Además del de direccionalidad, del de progreso, Leibniz acuñó dos rasgos muy importantes a su idea de naturaleza, y que pronto los asumirían los biólogos evolutivos: el de continuidad y el de gradualidad. Hay una naturaleza, y hay una ley que la impulsa al crecimiento, a la mejora, al progreso; una ley que es continua y que se expresa gradualmente, y no por saltos (recordemos el agrado que le suponía a Leibniz la idea de continuidad, no en vano fue uno de los padres del cálculo infinitesimal).

Las cosas en el conocimiento

La realidad tiene que estar presente de una manera u otra en el conocimiento que se pretende tener de ella; y no sólo tiene que estar presente, sino que también es ante ella que ese conocimiento se ha de justificar. Esto ocurre de modo palmario en la ciencia, pero no menos en el conocimiento cotidiano. Y, tanto en un como en otro, se ha de discernir qué hay de realidad en él. Puede parecer paradójico, en el sentido de que cómo vamos a preguntarle al conocimiento qué hay de realidad en él, cuando la misión del conocimiento es precisamente conocerla. Pero no es baladí este asunto, en el sentido de que tanto el conocimiento cotidiano como el científico parten de un presupuesto de lo que es la realidad, presupuesto que ‘ya’ existe cuando comienzan la tarea de conocerla. Ciertamente, nadie duda desde la actitud cotidiana qué sea la realidad, aunque pocos científicos dudan también del carácter real de su objeto de estudio, sea éste los átomos o las células. Pero las cosas no son tan sencillas pues, quizá debido al método propio de conocimiento, aquello que traten de conocer sea real, sí, pero al precio de dejarse al margen cosas que también lo son. ¿Podría ser?

Por de pronto, podemos detenernos a pensar cómo las cosas están presentes ante el ser humano. Por nuestra inteligencia (sin detenernos en la explicación de todo el calado que tiene este concepto en la noología zubiriana) no nos situamos ―digamos― empastados en la realidad, como pueda estarlo cualquier animal, sino que podemos tomar cierta distancia, distanciamiento en virtud del cual podemos hacernos cargo de ella, de la realidad. Es así que podemos pensarla, por nuestro modo humano de ser, por las posibilidades gnoseológicas de nuestro cerebro. Ese conocimiento está ‘en’ nuestro pensamiento, pero su origen no es algo ni aleatorio ni arbitrario, sino que está propiciado por esa cosa que está ante nosotros. Curiosamente, por haber tomado cierta distancia ante las cosas, podemos saber mejor lo que ellas son.

Todo conocimiento siempre es ‘mío’, pero alcanza su valor en la medida en que está referido a la cosa que pretendo conocer: el conocimiento ‘está en mí’ pero ‘es de la cosa’, insiste Zubiri. El conocimiento, las ideas que me formulo de las cosas, están en mí, pero se refieren a las cosas, tienen la pretensión de ser fieles a la cosa. Otro asunto es lo compleja que puede ser esta empresa.

Podemos plantearnos de qué carácter es esa referencialidad por parte de nuestro conocimiento hacia las cosas. Nuestras ideas no pueden originarse y manejarse alegremente, sino que deben reflejar mejor o peor lo que las cosas sean. Aunque sea preciso tomar distancia para poder conocerla, nuestro pensamiento debe dejarse arrastrar de alguna manera por la cosa, por su movimiento interno. Se puede decir en este sentido que si bien son las cosas las que nos dan las ideas, a la vez son las cosas las que nos las reclaman: esto segundo no es otra cosa que la evidencia. Todo lo cual es posibilitado, no lo olvidemos, por esa capacidad humana de tomar distancia ante la cosa, pero no una distancia absoluta, sino una distancia relativa que permita que haya entre la cosa y nuestro conocer una tensión en virtud de la cual nos hacemos cargo de la cosa y somos arrastrados de alguna manera (que habrá que ver) por el modo de ser de ella.

Esto es interesante: por un lado, nuestro pensamiento y nuestras ideas son algo nuestro, pero, por ser de la realidad, podemos descubrir en ella lo más nuclear suyo: «el pensar, que constituye una de las dimensiones más íntimas del hombre, constituye al propio tiempo lo que nos permite colocarnos en el punto de vista de la realidad en sí misma» (Zubiri). Y esto, ¿cómo es posible?, ¿cómo con nuestro conocimiento podemos hacernos eco de cómo sea la realidad? Pues porque nosotros, también somos realidad, de modo que hay una comunión íntima entre la realidad y el pensamiento, en tanto que éste nos pertenece a nosotros que también somos realidad. Hay una comunión originaria entre razón y realidad (Hegel), entre las leyes del ser y las leyes del conocer (Hartmann). Podemos dar razón de que las ideas que surgen en nuestro pensamiento no sólo tienen su origen 'en', sino que su contenido está propiciado 'por' su trato con la realidad: otra cosa es que las ideas estén más o menos ajustadas a la realidad, pero, si quieren ser conocimiento, desde luego no pueden ser meras ocurrencias.

¿Cómo se presenta la realidad ante el pensar? En primera instancia, podemos afirmar que la realidad es aquello con lo que de modo inmediato tenemos que habérnoslas. ¿De qué carácter es esta inmediatez? Tiene una doble faz: por un lado, entendemos por inmediato esa cosa que está ahí y nos manifiesta lo que es; y, por el otro, la idea que nos hemos hecho en referencia a esa cosa. A poco que nos demos cuenta, esa cosa que se nos presenta de modo inmediato nunca se presenta sola, sino que la vemos inmersa en algo mucho más vasto y más amplio; un algo mucho más vasto y más amplio que también se nos da de modo inmediato. Con esto no se quiere decir que sepamos qué es ese algo en cuyo seno está la cosa, todo lo contrario: ese algo se caracteriza por su indeterminación. Pero que no sea sabido a diferencia de las cosas que conocemos, no es menos cierto que cada una de estas cosas queda destacada sobre ese fondo indeterminado, erigiéndose este fondo en un ingrediente esencial y constitutivo de todo aquello sobre lo que podamos pensar. El ‘todo’ no es sabido, pero sin referencia a él no sería posible siquiera que una cosa se presentara a nuestra mente. Tenemos, por un lado, las cosas situadas en un todo indeterminado, y, por el otro, nuestro conocimiento que, partiendo de la cosa, puede ir hacia afuera, hacia los límites de ese todo, aunque también hacia la cosa, indagando en ella, pudiendo preguntarse paulatinamente qué hay más adentro suyo. Es el carácter discursivo de nuestro conocimiento, que comentaremos más adelante.

El conocimiento físico a ¿las puertas? del metafísico

Ya hemos visto que la tarea de la ciencia se puede resumir como la búsqueda de explicaciones satisfactorias, es decir, que no sean ad hoc, sino que se apoyen en juicios independientes al objeto de explicación, pero que se pueden aplicar al caso objeto de nuestra investigación. Mientras no haya un momento de insatisfacción con la explicación vigente, difícilmente surgirá un problema crítico.

El conocimiento relacional, propio de la ciencia, se articula en torno a leyes, ninguna de las cuales puede ser considerada como definitiva, antes bien, todas son susceptibles de ser revisadas críticamente, y sustituidas (en su caso) por otras de mayor riqueza y universalidad. Porque, por definición, ninguna ley (explicación) es última, sino que todas son susceptibles de ser 'absorbidas' por otra ley de ‘mayor nivel’. Las leyes se van enriqueciendo y universalizando en la medida en que son capaces de dar explicación a un mayor número de fenómenos particulares, todos los cuales estarán sujetos a ellas. «Por tanto, las leyes (que a su vez precisan una explicación ulterior) explican las regularidades o semejanzas de las cosas individuales y de los hechos o eventos singulares», explica Popper. Esas leyes, en principio no son inherentes a esas cosas singulares, aunque, desde un punto de vista sistémico, tampoco les son totalmente ajenas: habrá que ver qué tipo de vínculo cabe establecer entre ese gran sistema que es el universo y las leyes que en él se dan, y, si cabe, cómo todo ello puede haber sido originado.

En definitiva, eso son las leyes: explicaciones conjeturales y provisionales del comportamiento (sistémico) del universo. Y en su análisis crítico y revisión, gracias a la investigación, siempre se puede ir más y más lejos. Un esfuerzo penoso que, aunque difícilmente nos pueda llevar a las esencias, sí que nos permite ir ahondando cada vez más en la profundidad de lo real. El asunto pasa por si es ésta la única noticia, el único tipo de noticia, que podemos tener de la realidad, tal y como hemos apuntado anteriormente.

El conocimiento científico es, por definición, de carácter relacional, algo que ya afirmaba en su día Poincaré; nos habla de las ‘propiedades sistémicas’ del universo. Y las teorías explicativas (explicans) deben ser, de algún modo, más amplias o profundas que lo que tratan de explicar (explicandum). Como muy bien apunta Popper, apelar al uso de ‘profundo’ en este contexto no tiene una base lógica, pero sirve muy bien para guiar nuestra intuición; quizá la preocupación metafísica por la realidad quepa establecerla en estos términos, y que creo que están relacionados. ¿Por qué lo digo? Si lo pensamos, decimos que una teoría es más ‘profunda’ que otra, cuando tenga una mayor riqueza de contenido y sea más universal, dotándola de cierta entereza, de cierto cuerpo, de cierta compacidad. La simplicidad se interpreta con frecuencia como expresión de su acuerdo con la realidad de las cosas; una teoría farragosa suele ‘echar para atrás’, chirría, genera violencia (aunque nada de esto puede erigirse en criterio de verdad, ni mucho menos, pero bueno, esto es otra historia). Conforme se avanza en ello, muy bien puede dar la impresión de que estamos alcanzando a la esencia de las cosas; conforme avanzamos en la comprensión del átomo, o de las partículas subatómicas, parece que nos estamos aproximando a algo así como a su esencia, sobre todo si las teorías se van depurando, se van clarificando, van siendo cada vez más consistentes.

Pieter Bruegel; "Dos monos encadenados" (1560)

Esto es una opinión bastante frecuente, aunque, a nivel personal, no es acertada. En mi opinión, el acceso a lo esencial supone un cambio de clave respecto al conocimiento científico (así como a cualquier otro tipo de conocimiento al uso) el cual, en este sentido, no está en disposición de dar, no puede estarlo; lo que no quiere decir que haya que desoír ni mucho menos sus aportes. De algo de ello se hace eco Popper ―en la línea hacia la que apunto― cuando afirma que nada de eso tiene que ver con lo esencial, ni nos aproxima más a ello; este progreso del conocimiento científico nos lleva a teorías cada vez más contrastables y contrastadas, más ricas y universales, pero pertenecientes a otra esfera que la de las esencias. Si bien no son dos conocimientos independientes ―así lo entiendo yo― que se vaya avanzando en el conocimiento físico no implica necesariamente que se haga lo propio en el metafísico, lo que no es óbice para que una comprensión metafísica de la realidad dialogue con la comprensión física, y pueda revertir beneficiosamente sobre ella. Hay una razón de fondo para ello, como es que el conocimiento científico necesariamente ha de dejar al margen dimensiones o factores que no son relevantes para resolver sus problemas: los considera secundarios, por su propia metodología. Lo que nos lleva al problema de hasta qué punto todo eso que deja al margen el conocimiento científico es ciertamente secundario: ¿quién dice lo que es relevante o no?, ¿y si resulta que esos elementos considerados secundarios no lo son tanto, y que vienen a ser tanto o más relevantes que los inicialmente considerados así?, ¿y si por desestimar esos elementos secundarios, estamos alterando el objeto real que estamos tratando de estudiar?

Hoy en día parece insuficiente filosofar partiendo del dato de la experiencia cotidiana o precientífica; parece razonable ―consciente de que muchos no piensan así― contar con el conocimiento acrisolado científicamente; no se trata de hacer un mero análisis crítico de los datos de la ciencia sino de, junto con ellos, pensar filosóficamente, hacer metafísica. Una metafísica intramundana que también acomete una revisión de la metafísica clásica en términos contemporáneos (ejemplo de lo cual muy bien puede ser la reflexión metafísica de Driesch). Y, en el sentido opuesto, un buen científico no tiene por qué desoír necesariamente otras aportaciones extracientíficas, todo lo contrario: quizá estime oportuno ampliar su marco científico para comprender la realidad de un modo más holístico; sobradas muestras hay de ello, empezando por el mismo Driesch.

Bien, es este post el último de una serie en la que, tomando como base la reflexión de Karl Popper sobre el conocimiento científico crítico, he tratado de establecer un diálogo entre ciencia y filosofía, tratando de identificar posibilidades y dificultades. Para quien le interese, estos son los posts mentados:

• ¿Por qué está hoy el mar tan encrespado? Porque Neptuno está furioso
• Los conceptos pueden ser obstáculos en el conocimiento
• Qué conocemos cuando conocemos
• ¿Hasta dónde puede alcanzar nuestro conocimiento?
• La cognoscibilidad de las esencias
• El conocimiento físico a ¿las puertas? del metafísico

Los sistemas azarosos no son tan azarosos

Hoy quisiera detenerme en lo que denominábamos fenómenos azarosos, es decir, procesos naturales de los cuales tenemos experiencia en nuestra vida cotidiana, que se rigen según procesos causales pero de los que sólo podemos conocer su resultado (o algunos de sus resultados) estadísticamente. Poníamos el ejemplo del lanzamiento de una moneda o de un dado, el rodar de una ruleta o incluso el comportamiento de un gas: son procesos que tratamos de describir (reducidamente, recordemos el ejemplo de la moneda) mediante regularidades estadísticas, que se ajustan estrictamente a las leyes de la física aunque, por su naturaleza, nos es imposible saber qué va a ocurrir. Estrictamente hablando no son azarosos, como ya dijera Monod, sino que su azar le es imputado por nosotros por nuestra incapacidad para poder determinarlo y describirlo como tal. Es en este sentido en el que Laplace, el padre moderno del determinismo, enmarcó la teoría de la probabilidad, en tanto que «se ocupa de sucesos de los que tenemos un conocimiento subjetivo insuficiente, y no de sucesos aleatorios objetivamente indeterminados, que no existen», tal y como explica Popper.

Y en esto me quería detener, en la relación que guardan estos fenómenos con su definición matemática (para lo cual me he apoyado en este post). Como ahí muy bien se explica, estos procesos se comportan en el fondo según unas leyes definidas (gravedad, rozamiento, acción-reacción, inercia, etc.), y podríamos tratar de prever su comportamiento en orden a dichas leyes; pero el caso es que es algo que resulta muy difícil por el efecto que poseen pequeños cambios en cualquiera de sus variables, tanto que nos obliga a asumir que no podemos llegar a conocer del todo dicho comportamiento. Como dice Heisenberg, la necesidad de acudir a regularidades estadísticas no es sino un modo de expresar que conocemos imperfectamente un sistema físico. Si lo pensamos bien, la formulación matemática estadística presupone que nuestro conocimiento del sistema es imperfecto, ya que, si no lo fuera, si lo conociéramos con certeza, ya no tendría sentido describir su comportamiento estadísticamente. Esto es algo que quedó claro tras los trabajos de Gibbs y Boltzmann: desde ellos, «la insuficiencia del conocimiento de un sistema ha quedado incluida en la formulación de las leyes matemáticas».

Pero que no podamos prever su comportamiento por esta sensibilidad a las variables no implica que su comportamiento sea estrictamente hablando un comportamiento azaroso; como gráficamente dice Fernández Panadero, de alguna manera «la moneda ‘siente’ la gravedad, la reacción de la mesa, sabe muy bien quién la ha empujado en qué dirección y por qué cae como cae… eres tú el que no lo sabe y no podría saberlo».

La moneda ‘sabe’ lo que le está pasando, somos nosotros los que no podemos seguir qué es eso que le está pasando, por decirlo así. Y a donde iba: el caso es que, si lanzamos una moneda al aire muchas veces, se obtienen unos resultados análogos a los que un sistema de dos valores auténticamente azaroso arrojaría. Lo cual no deja de ser sorprendente, a poco que lo pensemos. ¿Por qué un sistema que no es auténticamente azaroso arroja un resultado análogo al que arrojaría un sistema que sí lo fuera?

Precisamente por esto argumentaba que podemos denominarlo así: sistema azaroso (frente a los sistemas caóticos, de los que no podemos saber cuál será su resultado). Lo mismo pasa con el valor de la presión de un gas: un valor obtenido por un modelo estadístico, lo que no quiere decir que el comportamiento de las moléculas del gas sea azaroso. Se da la paradoja de que el comportamiento de un sistema físico, que no es azaroso, se comporta como si lo fuera, tanto como para que un modelo matemático elaborado en términos azarosos prediga sus resultados con una fiabilidad más que sorprendente.

De todo esto hay una consecuencia importante para la comprensión de la mecánica cuántica. En los ejemplos mencionados, en el fondo nos es igual comprender físicamente a fondo cuál es el comportamiento de la moneda, qué es lo que le ocurre; ¿para qué? Si aplicando el modelo matemático ya sabemos lo que va a pasar con un grado de probabilidad que hace despreciable el error, no parece que el esfuerzo sea muy necesario. Pues bien, algo de esto pasa con las partículas subatómicas. No sabemos muy bien cómo se comportan, pero el caso es que con modelos matemáticos podemos prever su comportamiento, y se atina con una fiabilidad sorprendente. Aunque surge la siguiente duda: el comportamiento de la moneda se puede describir azarosamente, aunque sabemos que no lo es; ¿se puede decir lo mismo de las partículas subatómicas?, ¿su comportamiento está sujeto a leyes, aunque pueda ser modelizado azarosamente, o su comportamiento es estrictamente azaroso? Hasta donde yo sé, no hay una respuesta clara para esta cuestión: si al principio se inclinaba más la balanza hacia la primera opción, posteriormente parece que se inclina más hacia la segunda. En cualquier caso: ¿cómo saberlo?, ¿cómo saber cómo se comportan las partículas cuando no las estamos observando?

La armonía en Grecia: entre la simetría a la euritmia

Podría pensarse que con la concepción griega del arte difícil cabida tenía la idea de belleza como tal, pudiendo quedar un poco al margen, un poco relegada. Si el arte — cuanto menos en sus orígenes, aunque siempre permaneció este marco— se debía a la regla, a la norma, poca holgura quedaba para la creatividad del artista. Si bien algo hay de eso, no lo es todo. Efectivamente, los griegos poseían una idea de belleza, pero el caso es que no representaba para ellos un rol relevante, algo que no deja de ser paradójico entre quienes crearon tanta belleza. El griego no hacía arte por su belleza, no asociaban arte y belleza, sino que el arte era practicado por otros motivos de carácter práctico (social, religioso…). Lo importante del arte no era que fuera bello, sino que se adecuara a su regla; con esto no se quiere decir que sus obras no fueran bellas, pero lo eran no porque se buscara la belleza en sí misma, ya que ésta no era sino un residuo, un precipitado de lo que era realmente importante: el ajustarse a la técnica, a la geometría, a la simetría…, donde en definitiva radicaba su parecido con la Naturaleza. Esta idea de belleza es la que Tatarkiewicz denomina la gran teoría¸ en la que la belleza consiste sobre todo en las proporciones y en el ordenamiento e interrelaciones de las partes, teoría que persistió durante siglos.

Este planteamiento tenía una importancia fundamental. De hecho, los griegos pensaban que habían dado con las proporciones perfectas de la naturaleza, con sus leyes, idea que también estaba presente en los filósofos (Pitágoras, Platón, Zenón de Citio). Se aprecia, pues, cómo la idea de belleza para el griego era muy diferente a la nuestra. Lo bello podía asociarse a aquello que era digno de ser reconocido y considerado por el mérito de haber sido producido como debía haberlo sido.

Por este motivo, se hablaba con facilidad de belleza en otros ámbitos, como en el de la moral: la bondad moral es bella, porque es lo que le compete al hombre bueno. La belleza no tenía, pues, una connotación tan experiencial como hoy en día, por lo menos tras el influjo del Romanticismo: era más bien como un sentimiento de agrado a causa de la percepción de que todo encaja, de que todo está bien: bello no era sino lo que resulta agradable a la vista o al oído, porque se ajustaba a ‘lo que debía ser’. Lo que —por otro lado— abría la puerta a no pocos problemas filosóficos, como vio agudamente Gadamer; lo digo en el sentido de que había ciertos productos artísticos cuya utilidad era muy distinta a la de otros, el uso de los cuales no era tanto un ‘verdadero utilizar’ como un ‘demorarse contemplativo’ en la obra artística, algo que los griegos no estaban todavía en disposición de conceptuar adecuadamente.

El concepto de belleza, pues, no tuvo una gran presencia ya que no tenía una posición específica como tal; era fácil encontrarla asociada a lo bueno, a lo moral, al equilibrio, ya que, para el griego, no era la belleza visible y audible la que le preocupaba, sino sobre todo ser capaz de reproducir el orden de la naturaleza. No por ello debemos precipitarnos al tratar de comprender esta reproducción: su imitación no tenía nada que ver con el naturalismo moderno, ni mucho menos, sino que trataba de recoger lo que subyacía a la naturaleza más allá de lo que se veía en primera instancia, algo que recogieron inicialmente en el concepto de armonía.

Templo de Apolo, Corinto

El origen de este concepto cabe situarlo en los pitagóricos, concepto con el cual trataban de describir un modo de darse las propiedades de las cosas, un modo ‘ordenado’. Es el orden del cosmos la auténtica y única belleza, verdadera fuente de asombro e inquietud para el griego. Con eso tiene que ver la armonía, con el orden, el cual deriva de la proporción, ésta de la medida, y la medida del número. Esta ordenación, cuyo fundamento estaba en el número, revertía en la conjugación de las formas, cuya manifestación o cuyo resultado no era sino la armonía. Esta armonía tuvo dos modos privilegiados de poder ser expresada: ‘simetría’ para la armonía visible, ‘euritmia’ para la audible. Mediante la simetría y la euritmia se establecía así un puente entre las cosas naturales y su fundamento; la armonía del cosmos se hacía así accesible al espíritu humano, en lo que la belleza jugaba, como vemos, un rol no demasiado relevante. Destacadamente en la época arcaica, este ‘todo encaja’ propio de la armonía giraba en torno a la simetría.

Apolo

Pero lo que los griegos apreciaban de la simetría no era tanto su resultado visual, el orden que se observaba, sino su origen, el orden que se conocía y cuyo resultado era la producción artística. La simetría apelaba al intelecto, no a los sentidos. No en balde, podían percibir mas atracción por las figuras (más perfectas) que construían los geómetras que por las que construían los escultores. No era casualidad que la arquitectura tuviese un valor especial, porque era la disciplina en la que mejor se podía reflejar todo esto; aunque no era la única disciplina que se caracterizaba también por su simetría (como la escultura, un tanto hierática, eso sí).

La proporción, la simetría, no necesariamente es artística, aunque ellos la percibían en la naturaleza, y era lo que trataban de representar en lo artístico. Cuanto más se aproximara el arte a la naturaleza, más se podía reconocer en él su participación en la esencia divina de las cosas, precipitado de todo lo cual, era la belleza que reflejaban. Pero a estas obras se les apreciaba más por su cercanía a la esencia divina de la naturaleza, que por su belleza. El arte estaba más preocupado por las leyes geométricas y por la metafísica que por lo estrictamente estético.

Decía que la armonía griega tuvo dos grandes modos de expresión. La primera y más extendida fue la simetría, que acabamos de ver; la segunda, con un origen no tan concreto, sino más extendido en el tiempo, comenzó a consolidarse con el helenismo: me refiero a la euritmia, la cual seguramente se aproxima más a nuestra idea de belleza, aunque no del todo. Si bien en un principio era secundaria, con el tiempo fue cobrando relevancia, aunque sin desbancar ni mucho menos a la simetría. ‘Euritmia’ tenía que ver también con orden, pero si bien la simetría mostraba el orden cósmico, divino, eterno, de la naturaleza, la euritmia hacía lo propio desde la esfera sensible, perceptiva, con una clara relevancia de lo acústico. Decía que lo importante de la simetría era comprenderla, antes que sentirla; con la euritmia la cosa cambió, siendo fundamental que ese orden fuera percibido por los sentidos, como digo especialmente el oído (también la vista). Estas dos corrientes coexistieron sobre todo durante el helenismo, una coexistencia que no fue precisamente armónica. Así lo explica Tatarkiewicz: «Los artistas griegos se dividieron en el curso del tiempo en dos grupos: los partidarios de la simetría, y los de la euritmia. Los primeros artistas, especialmente los arquitectos, trabajaron de acuerdo con los principios de la simetría e intentaron descubrir los cánones inmutables de la belleza. Los artistas posteriores se esforzaron por establecer las relaciones que son hermosas a los sentidos. Los primeros trabajadores aceptaron sólo la belleza absoluta, cósmica, divina y supersensorial de la simetría (…). Las artes visuales, sin embargo, siguieron en general el camino de la euritmia (…)».

No obstante, situados en el marco clásico como estamos, la experiencia eurítmica estaba ―como no podía ser de otra manera― muy condicionada, supeditada al marco establecido por la naturaleza. Sí, lo sensible adquiría un papel relevante, pero se trataba de un sentimiento de orden, de armonía, de ritmo, paso nada desdeñable para la época, pero que se encontraba todavía muy lejano a lo que hoy en día podemos entender por una experiencia estética, por ejemplo. De hecho, para el griego lo principal continuó siendo lo simétrico, no lo eurítmico.

La retórica y el problema de la verdad en Agustín

Agustín de Hipona tuvo una profunda inquietud por la retórica, por la oratoria, por el discurso magistral. Así lo expresa en su De magistro (compuesta en torno al año 390), obra a modo de diálogo con su hijo Adeodato. Se hace eco en esta obra de lo problemático que es el discurso, en el sentido del difícil tránsito que existe entre una serie de signos (las palabras) y su significado (interpretación, comprensión). Se da la paradoja de que los signos en sí mismos no significan nada, pero el caso es que sin ellos no hay acceso al significado. No hay otra opción que ejercitarse, para que el alma y el intelecto sean capaces de aprehender las verdades de la naturaleza y las verdades reveladas.

No deja de llamar la atención cómo san Agustín se hacía eco ya de la problematicidad intrínseca a la comunicación lingüística, con una lucidez que dejaría perplejos a los hermeneutas más avezados de la filosofía contemporánea (no es extraño que incluso Wittgenstein recurra a él en algún momento). ¿Cómo es posible comunicar un significado, cómo es posible la comprensión, cómo es posible la enseñanza? A través de las palabras no manejamos nada más que palabras: ¿hasta qué punto un signo puede dejar de ser autorreferencial para apuntar más allá de sí mismo? No es baladí este asunto. La familiaridad del proceso de la comunicación oculta la complejidad y el carácter milagroso del fenómeno comunicativo. Toda retórica que no trate de responder honestamente a este problema no es más que mero chismorreo, porque cualquier magisterio auténtico debe aspirar a la verdad. Y él era consciente de lo fácil que era no sólo engañar, sino engañarse: lo grave no era mentir, sino el engatusamiento inseparable incluso a la mejor de las intenciones.

Si la capacidad para definir y comprender signos es algo humano, es algo innato, su ejercicio es algo que debe ser ejercitado y aprendido. En este ejercicio sólo hay un maestro, el ‘Maestro interior’, el ‘único Maestro’, que es Cristo, al cual se accede desde la fe en quien es la Palabra. Al experienciar que la Palabra (que es Cristo) habite en nuestro interior, se da una transformación de todo nuestro ser que permea a nuestro intelecto, posibilitando así la sintaxis y la semántica; una Palabra que no siempre es actual en la vida de cada cual, sino que ha de ser liberada por la gracia, en mayor o menor medida, según también los recursos y disposiciones personales. Esto es un proceso de crecimiento personal que cada uno debe acometer en primera persona. El orador no hace aquí sino de ‘catalizador’, es decir, de dinamizador de ese proceso que cada discípulo debe realizar por sí mismo mediante el auxilio de la gracia.

El Maestro no puede no estar, pero lo relevante es dónde esté situado cada alumno, lo importante es el ‘desde dónde’ le escuche; el maestro dice lo mismo a todos, pero no todos escuchan lo mismo, en virtud de cuál sea el respectivo ‘desde dónde’. Y eso es lo que debe hacer el alumno: situarse en el mejor lugar posible, crear en él las mejores disposiciones para poder comprender en su mayor riqueza las enseñanzas del maestro. Un alumno que no cuide su ‘desde dónde’, que no tenga inquietud por crecer y crear cada vez mejores disposiciones para la escucha, en el fondo no puede tener ningún maestro.

La circularidad autorreferencial del signo se rompe mediante el acceso a lo trascendente, por vía de intimidad. El círculo se rompe porque todo signo apunta a la verdad, y la verdad se funda en lo divino e inmutable. En el fondo, “es Dios quien enseña”, es Cristo quien, al encarnarse, nos ayuda al tránsito de lo exterior a lo interior. Sólo comprende verdaderamente quien se ha transformado, porque ha redescubierto su intimidad de la mano de Jesucristo: «La maravilla de los signos, de su capacidad para significar y transmitir, guarda una relación inmediata con la Palabra viva, con el logos que es el Cristo de Juan», explica Steiner. Dios es el único Maestro, y la educación pasa por acudir a Él para dejarnos transformar por Él.

Como decía Dante en La divina comedia, la enseñanza pasa por hacer eterno al hombre, por elevar el espíritu mediante la filosofía y el arte, eternizándose no sólo a él sino, junto con él, a la humanidad. Este tránsito supone ir en uno mismo más allá de las palabras, de los conceptos y de las imágenes, accediendo a ese fondo esencial de donde mana todo y que es precisamente donde habita Dios: si uno quiere comprender las palabras no puede quedarse en el marco establecido por ellas, sino que lo ha de trascender encontrando en sí mismo el fondo desde el cual toda palabra se gesta. Es ahí donde se escucha la Palabra, fuente de toda palabra. Es ahí donde se hace posible la comprensión y el magisterio. ¿No hay aquí un paralelismo con el ‘sentido de realidad’ kantiano, o con el ámbito de ‘lo prelingüístico’ en Gadamer?

El ADN de cada individuo es seguramente único (o casi)

Hay un fenómeno que se observa en la naturaleza, especialmente en la materia viva, y que no deja de llamar la atención. Me refiero al hecho de que, para que se constituyan moléculas complejas, se parta de moléculas sencillas, y no de los componentes de estas últimas. Los componentes de una estructura de nivel superior son las estructuras del nivel inferior, y no los componentes de estas estructuras más sencillas. Esto implica que la estructura compleja no se forma a partir de los ladrillos simples de la materia, sino de estructuras intermedias. Entre esas grandes moléculas, de las que hay muchísimos tipos diferentes, hay algunas que se constituyen formando largas cadenas y que —como digo— serán los elementos de la futura integración. Los ácidos nucleicos son de este tipo.

Pensemos que queremos realizar un collar de cuentas, a partir de cuatro cuentas de diferentes colores. ¿Cuántos collares diferentes de una cuenta podríamos formar? Pues uno por cada tipo de cuenta, es decir, 4. ¿Y de dos cuentas? Pues si la primera cuenta es de un color, la segunda podrá ser de cualquiera de los cuatro colores que hay; esto, para cada uno de los cuatro colores, nos dará 4² posibilidades, es decir, 16. ¿Y de tres? Por el mismo razonamiento habrá 4³ posibilidades, es decir, 64. Conforme vamos aumentando las cuentas del collar, las posibles combinaciones aumentan exponencialmente. Si quisiéramos hacer un collar de cien cuentas, habría 4¹ºº posibles combinaciones, es decir, 1’6·10⁶⁰. Una cifra exorbitante. Como dice Bresch, si toda la humanidad se dedicara durante milenios a formar collares de cien cuentas escogidas al azar, habría mucha probabilidad de que no hicieran dos collares iguales. ¿Por qué digo todo esto? Porque algo de ello tiene que ver con los ácidos nucleicos, también con las proteínas.

Las ‘cuentas’ de los ácidos nucleicos son los nucleótidos, que son cuatro: adenina, timina, guanina y citosina, cada uno de los cuales es ya una molécula bastante compleja. Se dividen en dos partes: una inferior, comunes a todos los nucleótidos, y que es la que se encarga de ir uniendo las cuentas unas con otras: está formada por un azúcar y un grupo fosfato; y otra superior, que permite también enlaces, pero de otro tipo, y que es la que especifica a cada uno de los cuatro nucleótidos. Son los enlaces de estas partes superiores las que dan lugar a la gran diversidad de cadenas nucleicas.

Como es sabido, el ADN es el portador de la información genética de todos los seres vivos. El orden que siguen los nucleótidos en él no es ni caótico ni fortuito, sino que es sencillamente el adecuado para que cada nuevo organismo pueda existir, algo que, cuando se descubrió, fue un paso  importante hacia la comprensión biológica de la vida. Se trata de una disposición articulada mediante dependencias externas e interrelaciones internas entre sus componentes. Las partes superiores de los nuecleótidos están configuradas de tal manera que se pueden enlazar dos a dos, formando parejas, a modo de peldaños de una escalera. Estos enlaces son débiles, pero como son muchos, dotan de estabilidad a la molécula siempre que sea lo suficientemente larga. Para que se pueda formar esta escalera (la famosa doble hélice) es necesario que las secuencias de los elementos básicos en cada uno de los dos bastidores se organicen adecuadamente. ¿Cuándo ocurre esto? Pues cuando enfrente de la adenina esté la timina, y de la guanina la citosina. La idea básica es que cada una de las cuatro bases (A, T, G y C) sólo se puede enlazar a una del resto, pero no a cualquiera, formando parejas: A-T, G-C.

Este ‘collar’ que es la doble hélice está formado por cuatro tipos de ‘cuentas’ o nucleótidos, pero tiene muchas más cuentas que las cien que habíamos previsto para nuestro collar. En concreto, tiene en torno a tres mil millones. Si elevamos cuatro a esa potencia, es inimaginable la cantidad de combinaciones a que pueden dar lugar. Una locura. Aunque en una misma especie los nucleótidos son los mismos y siguen un orden determinado, la probabilidad de que dos individuos posean exactamente el mismo código genético es prácticamente despreciable.

La antigua filosofía de la naturaleza y la ciencia moderna

La ciencia moderna deriva de alguna manera de la filosofía de la naturaleza de los griegos, la cual tuvo su origen en el seno de un grupo de pensadores denominados presocráticos, por ser previos al gran Sócrates, lo que los sitúa entre los siglos VII a V a. de C. Pero esto no es del todo cierto, pues los últimos filósofos presocráticos fueron contemporáneos a él, aunque se engloban en este grupo por coincidir en el tema y en el carácter de su especulación. Estos pensadores —justo es decirlo— son parte de ese gran movimiento cultural que se da en la Grecia antigua, y que la caracteriza. Esta época sucedió a la anterior, la t    radición poética propia de las sociedades heroicas, en la que encontraron un apoyo firme para poder avanzar. No sólo en el ámbito de la filosofía, sino que hubo prohombres presentes en distintos ámbitos, sobre todo en el del arte y en el de la política; gracias a todos ellos, Grecia adquirió ese estatus singular y primordial que provocaría que su influencia en Europa durante los siglos sucesivos fuera básica y radical, mucho más de lo que ellos nunca fueron conscientes, evidentemente.

El pensamiento de los primeros filósofos no deja de tener cierta aura de misticismo, en el sentido de que, al ser cronológicamente los primeros, puente entre el pensamiento prefilosófico (sin menospreciarlo, ni mucho menos) y el estrictamente filosófico, se sitúan en un marco mental muy diferente al nuestro, y en el que no es fácil situarse. No faltan quienes sitúan en sus intuiciones barruntos de conceptos físicos contemporáneos, algo que, si bien es verdad, no es toda la verdad. Digo esto en el sentido de que realizar extrapolaciones rápidas de este tipo puede llevarnos a engaño, y no comprender bien qué es lo que ellos pensaban, si es que esto podemos llegar a averiguarlo alguna vez. Hacernos con su marco mental, todavía muy próximo al de las tradiciones heroicas de los poetas y sus cosmogonías repletas de personajes divinos y semidivinos, de historias de carácter mítico, es muy complicado. Pero creo que es un esfuerzo interesante, porque nos ayuda no sólo a pensar los grandes interrogantes que podamos tener en este ámbito, sino también porque sus postulados no están tan lejos de los nuestros.

Nos equivocaríamos si redujéramos sus teorías a meras especulaciones, sin respaldo empírico. Claro que lo que ellos decían tenía un respaldo empírico, aunque en un marco mental diverso al nuestro. Y con ello no debemos pensar que nuestros conceptos son claros, con una evidencia empírica fuera de toda duda: la historia de la ciencia habla por sí misma, una historia que se parece más a un tanteo que a un camino seguro.

Los primeros filósofos seguirán, salvo excepciones como la de Heráclito, el ejemplo de los poetas itinerantes. Serán capaces de abandonar sus posesiones, sus medios de vida, en orden a vivir para su inquietud intelectual, no dudando en viajar allí donde sus ansias de aprender los llevara. También es cierto que serán presiones de otro tipo las que a veces los obligaban a abandonar su ciudad natal, como por ejemplo la presión persa en la Jonia, que provocó la expatriación de filósofos y poetas, y facilitó por otro lado el conocimiento de sus teorías más al occidente. De un modo u otro, el caso es que el impulso intelectual de estos filósofos, que nació al otro lado del Egeo en las colonias de Asia Menor, se difundió por todo lo que entonces era Grecia, especialmente en Atenas, Sicilia y sur de Italia.

¿Y cuál es el tema central de esta especulación? Su preocupación fundamental fue el origen de la naturaleza, de todo lo que existe; pero no sólo su origen, sino también por lo que es, por cómo están hechos los entes que en ella existen. Ellos fueron los primeros en percatarse de que, ante la visión natural de la realidad, no todo lo que pensaban que era existente lo era; se percataron de que había cosas que aparentaban existir, más no existían en realidad. Observaban también que unas venían a la existencia, y que otras desaparecían: ¿de dónde venían?, ¿cómo llegaban a la existencia?, y ¿a dónde iban?, ¿qué pasaba cuando dejaban de existir?

Y en este sentido encaminaron sus esfuerzos: hacia un discernimiento entre lo que existe de veras y lo que no, y en base a qué se puede determinar que eso efectivamente existe. Cuando uno se aproxima primeramente a ello, puede pensar que es de fácil respuesta; nada más lejos de la realidad. Precisamente por ello surgió esta cuestión, este problema: si hubiera estado tan claro, no se hubiera constituido en problema; ese ‘no estar tan claro’, el plantearse este problema es el mejor indicador de que se había superado esa visión natural de la realidad, para la cual todo era obvio. Así, el primer esfuerzo filosófico pasó por aquí. No se piense que esto fue problemático para ellos porque vivieron hace muchos años y claro, entonces no sabían lo que ya sabemos ahora; es cierto que ahora sabemos muchas más cosas que entonces, pero en absoluto tenemos respuestas a las cuestiones fundamentales que ellos plantearon. Y no pocas ideas que ellos barajaron, siguen estando perfectamente activas hoy en día. Quizá no sea una mala idea dialogar con ellos.

La utilidad gráfica de un ciclo térmico

Estuvimos viendo cómo, aplicando la ley de Charles, podíamos emplear energía calorífica para generar un trabajo, pudiendo emplearlo para distintos fines, como para mover las ruedas de un tren. La energía calorífica generaba un trabajo elevando la tapa (un pistón) y aumentando su energía potencial la cual; dejada caer la tapa, disminuía dicha energía, generando un trabajo que podía ser empleado para distintos fines. Lo interesante es que esto no sólo ocurra una vez, sino que ocurra muchas veces, repetitivamente, cíclicamente. Para comprender qué es lo que ocurre en un ciclo es frecuente emplear diagramas, en los cuales aparezcan expresados los distintos estadios que se dan en la evolución del sistema. Con esto tienen que ver los famosos ciclos de Carnot, que veremos más adelante. Hoy vamos a tratar de aproximarnos a ello, representando en ejes de coordenadas los distintos estados, así como los tránsitos de unos a otros. De lo que se trata es de comprender cómo evoluciona el sistema, para lo cual la capacidad para leer los diagramas es más que beneficiosa. Se suele representar el volumen en las abscisas, y la presión en las ordenadas.

El ejemplo que vimos se trataba de un ejemplo sencillo, en el que la presión era constante, por lo que el diagrama se va a simplificar mucho, reduciéndose a una línea horizontal. ¿Por qué no ponemos en los ejes de coordenadas las dos magnitudes que varían en nuestro caso, el volumen y la temperatura? Lo normal es que la presión varíe, algo que acometeremos también enseguida; y lo cierto es que, para el estudio de la termodinámica, es más interesante observar la relación presión-volumen (enseguida veremos por qué), por lo que cuanto antes nos familiaricemos con ello mejor. Vamos a nuestro caso. Partimos de un estado inicial (1), en el que tenemos un volumen de un determinado gas V₁ a una T₁, y sometido a una presión P (que era igual a la resultante de sumar la ejercida por la tapa más la atmosférica), y que se mantiene constante, es decir, siempre va a seguir siendo P, no va a variar.

¿Qué es lo que ocurre a continuación? Pues que, al aumentar la temperatura a T₂, también aumenta el volumen del gas (a V₂) subiendo la tapa, y manteniéndose la presión constante —como sabemos—, pues recordemos que se trata de un proceso isobárico, en el que la tapa está sencillamente dejada caer. ¿Por qué decía que es interesante representar estos procesos en diagramas presión-volumen? Pues porque, de un modo intuitivo (aunque se pueda calcular también gráficamente) se puede saber enseguida cuál es el trabajo realizado en el proceso, que no es otro que el representado por el área encerrada por el rectángulo dibujado por el segmento que uno los puntos 1 y 2 y su proyección en el eje de abscisas. Esto es muy interesante, porque, una vez dibujados distintos ciclos, se puede ver de modo muy intuitivo cuál de ellos realiza más o menos trabajo.

Y esto, ¿por qué es así?, ¿por qué ese rectángulo nos da la magnitud del trabajo generado? La explicación es muy sencilla. Decíamos que el trabajo generado tenía que ver con el desplazamiento de la tapa hacia arriba una determinada altura, en virtud de la cual se alcanzaba ese incremento de energía potencial. Lo cierto es que, para calcular el trabajo generado, se puede hacer tanto a partir de la variación de energía del sistema como por el efecto de las fuerzas aplicadas: son dos modos de decir lo mismo, por decirlo así. En función de lo que sea más fácil, se puede emplear un procedimiento o el otro. Por lo que a nosotros compete, nos interesa aquí el segundo, en virtud del cual se define trabajo como el producto de una fuerza por el desplazamiento obtenido: W = F·d; y se mide en julios (J), que se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton para desplazar un objeto 1 metro: J = N·m.

Es fácil de ver que el gas, al calentarse, ha ejercido una fuerza hacia arriba a la tapa, motivo por el cual ha subido una determinada altura. Decíamos que el gas estaba inicialmente a una presión P, que era causada por la presión atmosférica y por el peso de la tapa (el cual no deja de ser una fuerza, el peso digo, la cual, dividida por la superficie de la tapa, nos daba la presión que ejercía). En este caso, sabida la presión P del gas, si queremos calcular la fuerza F ejercida habrá que multiplicarla por la superficie de la tapa: F = P·Stapa. En virtud de esa fuerza, la tapa ha ascendido una determinada altura, que se corresponde con el aumento de volumen del gas, el cual será igual al producto de la superficie de la tapa por la altura elevada de 1 a 2 (tal y como se calcula el volumen de un cilindro, o de cualquier prisma): ΔV = Stapa·h. De este modo tenemos que la distancia vertical que asciende la tapa, la altura, es igual al cociente entre el volumen obtenido y su superficie: h = ΔV/Stapa.

Como decíamos que el trabajo es igual a la fuerza realizada por el desplazamiento del objeto (la altura que ha subido la tapa), tenemos que: W = F·d = P·Stapa · ΔV/Stapa = P· ΔV. Este resultado, si volvemos al diagrama, equivale precisamente al cálculo del rectángulo sombreado, cuyo lado horizontal es ΔV = V₂₁ - V₁, y el vertical P. Algo que, por otro lado, nos indica una idea interesante, como es que, a efectos del trabajo realizado, no importa el tamaño de la superficie de la tapa, porque como la fuerza ejercida es proporcional a ella y el aumento de altura inversamente proporcional, se compensa y queda el trabajo únicamente en función del valor de la presión y del aumento de volumen.

Como dice Gómez Esteban (autor en el que me estoy inspirando) «el trabajo de expansión de un gas en un proceso isobárico es igual a la presión multiplicada por el aumento de volumen», algo que se observa perfectamente en el diagrama en cuestión. Cualquier otro caso, por ejemplo, que hubiera que subir la tapa una altura doble, la superficie de dicho rectángulo sería doble, del mismo modo que el trabajo a realizar también sería doble, pues habría que aplicar la misma fuerza durante el doble de altura. Y lo mismo valdría para el caso en que la presión no fuera constante: si bien cálcularlo matemáticamente, siendo posible, sería más engorroso al tener que emplear ecuaciones diferenciales, gráficamente es mucho más intutivo.

El mismo diagrama podría servirnos en el caso contrario, es decir, en vez de ir de 1 a 2, comenzar en 2 e ir a 1: en este caso el gas no ‘realiza’ un trabajo sino que lo ‘recibe’, convirtiéndose la energía mecánica (el descenso de la tapa) en energía calorífica (calentamiento del gas). Si nos damos cuenta, acabamos de definir un ciclo: estábamos en 1, en donde un gas calentado (externamente) ejercía un trabajo al enfriarse, expandiéndose y elevando la tapa, llegando a 2; luego partimos de 2, descendiendo la tapa, comprimiendo al gas y calentándolo. En definitiva, después de estos cambios el sistema ha vuelto al punto de partida, encontrándose al final igual que estaba al principio. Esto y no otra cosa es un ciclo. Ciertamente, en la realidad son más complejos que este desplazamiento 1 – 2 – 1; pero su comprensión es análoga a lo que acabamos de hacer. De todo ello seguiremos hablando.