El último paso para conquistar a Gödel: la autorreferencialidad

Vamos a dar un paso más, ¡uno más!, que será ya el último para poder hincar el diente con garantías a la demostración del teorema de Gödel, la cual intentaré explicar de modo global en el próximo post de esta serie. Este último paso tiene que ver con un modo de operar que cuanto menos llama la atención, como es la incorporación de los resultados de una función en la misma función: es lo que se denomina autorreferencialidad. Y claro, todo ello aritmetizado adecuadamente en el lenguaje de Gödel. ¿A qué nos referimos con esto? Veámoslo con un ejemplo.

Imaginemos que queremos expresar mediante un teorema el siguiente enunciado meta-matemático: siempre hay un número que sea el siguiente a un número dado; o sea, si tenemos un número cualquiera (y), siempre existirá su siguiente (llamémosle x). Esta idea, pues, se puede expresar con este teorema: (Ǝx) (x=sy); es decir, dado un número cualquiera y, existe un número x, tal que x es igual al siguiente número a y. Hasta aquí, todo correcto.

Igual que hemos visto en posts anteriores, podemos obtener el número de Gödel asociado a este teorema, mediante el procedimiento que en su día explicamos; pongamos que el número de Gödel de este teorema es m. Pues bien, del mismo modo que hemos expresado que hay un número siguiente a un número dado (en este caso el y), podemos expresar lo mismo, pero en vez de ser siguiente al número dado y, que sea siguiente al número de Gödel que expresaba el teorema, es decir, a m. Entonces, el teorema quedaría así: (Ǝx) (x=sm). Y bueno, de esta última fórmula también podemos obtener su número de Gödel. Según el procedimiento habitual se podría obtener sin problemas, como hemos hecho con el primer teorema.

Pero también lo podemos obtener por una segunda vía, en la cual aparece la autorreferencialidad, que es lo que busca Gödel. ¿Cómo? Pues sustituyendo en el primer enunciado, (Ǝx) (x=sy), la variable y por el número de Gödel asociado a este teorema m; el número que buscamos será el resultado de aritmetizar la fórmula cuyo número de Gödel es m, sustituyendo la variable y, por el número m. Si nos fijamos, lo que acabamos de hacer es introducir una función dentro de otra función (porque m es el número de Gödel de una función), y lo hemos formalizado dentro del sistema.

¿Qué es lo que expresa este nuevo teorema? Pues expresa un número obtenido a partir de otros dos, la variable y (de partida) y el valor m (resultado de asociar un número de Gódel a la expresión de partida). Hemos creado una nueva fórmula con una variable y con otra fórmula; digamos que hemos metido una función dentro de otra, el número de Gödel m (que es una función) dentro del cálculo. Son como fórmulas hablando de fórmulas.

A modo anecdótico, pues no lo vamos a emplear más, Gödel describe esta nueva situación como ‘sub (m, 13, m)’, la cual nos recuerda cómo la hemos obtenido, teniendo en cuenta que en la numeración de Gödel y se designa por el número 13, a saber: como el número de Gödel obtenido partiendo de la fórmula cuyo número de Gödel era m, pero sustituyendo en ella la variable y por el número m mismo. Cualquier otra expresión similar a esta, ya podemos interpretarla adecuadamente. Si, por ejemplo, tenemos la expresión sub (n, 17, n), sabemos que quiere decir que es el número de Gödel obtenido de la fórmula cuyo número de Gödel es n, pero sustituyendo en ella la variable cuyo número de Gödel es 17 por n. Esta nueva expresión, entonces, puede ser designada en cualquiera de los casos por su número de Gödel correspondiente.

Démonos cuenta de que, lo que ha hecho Gödel, es algo así como introducir la fórmula dentro de sí misma, y ello estableciendo siempre un mapeo con los enunciados meta-matemáticos correspondientes. Nada más y nada menos. Es la autorreferencialidad. Pues bien, con todo esto, ahora sí, ya estamos en condiciones de zambullirnos en el meollo del teorema.