El lugar de Cantor en las matemáticas decimonónicas

Georg Cantor (1845-1918) fue uno de esos grandes genios no demasiado conocidos, pero que revolucionó el mundo de las matemáticas. Con él se empezaron a ‘manejar’ dos importantes conceptos: el de conjunto (contribuyendo al desarrollo de la conocida como teoría de conjuntos) y el de infinito. Ello en un ambiente poco preparado para tales novedades, lo que supuso una buena dosis de incomprensión. Es fácil que ello estuviera en el origen de sus crisis maníaco-depresivas. Como suele ocurrir tantas veces, el reconocimiento a su labor ocurrió tiempo después de su muerte, reconocimiento expresado en estas palabras de Russell en su Autobiografía: «Fue, en mi opinión, uno de los mayores intelectos del siglo XIX», dice Navarro. E insiste: «Cantor pertenece a la élite de los que hacen virar noventa grados el rumbo de la ciencia con el impacto de una sola idea. Newton lo hizo con la de gravedad, Einstein con la de relatividad; Cantor lo hizo con la de conjunto».

¿Qué es un conjunto? Por conjunto se puede entender una colección de objetos. Una definición sencilla, intuitiva, pero muy útil. Un montón de libros, unos cuantos gatos, nubes en el cielo… todo ello conforma conjuntos. La única condición que se puede exigir es que estén bien definidos los elementos que lo forman. Por ejemplo: se puede definir el conjunto de las personas de España que tengan 18 años, pero no se puede definir el conjunto de las personas de España que el año que viene tendrán 18 años, pues evidentemente no se puede saber; del mismo modo que no podemos definir el conjunto de los granos de arroz que me comeré el mes que viene, o cuántos pingüinos morirán en el próximo año.

Surgió pronto el problema de qué ocurría con aquellos conjuntos cuyos elementos no tenían fin, tal y como acontece, por ejemplo, con el conjunto de los números naturales, que es infinito. Ciertamente, el concepto de infinito ya era conocido en la antigüedad, aunque no tanto como entidad matemática, sino más bien como una especie de concepto límite, como un modo de hablar de la enorme cantidad de números naturales existentes, por ejemplo.

Y así permanece en el ámbito cotidiano: todos tenemos una idea de lo que es infinito, pero comprender con rigor qué quiere decir exactamente ‘infinito’, qué significa, qué entidad tiene, no es en absoluto sencillo. No fue hasta el siglo XIX que este asunto fue tratado matemáticamente, gracias básicamente a nuestro protagonista.

Cantor nació es san Petersburgo el año 1845, hijo de padre danés y madre alemana. Durante su adolescencia su familia se instaló en Alemania. Su vida académica fue discreta, desarrollándola principalmente en la modesta universidad de Halle. Su ascenso académico estuvo dificultado por la oposición de su mayor adversario matemático, Kronecker. Con el paso de los años tal enfrentamiento desapareció, pero la salud de Cantor era ya delicada, impidiéndole el ascenso que suponía enseñar en Berlín.

¿Cuál fue el origen de tal enfrentamiento? Kronecker fue el principal precursor de los denominados constructivistas, es decir, de aquellos matemáticos que entendían que el punto de partida de las matemáticas eran los números naturales, a partir de los cuales se debían construir los diferentes teoremas y entidades matemáticas (Brouwer seguirá esta tradición con su ‘intuicionismo’). En este sentido, desconfiaba de todo lo que no fuese apresable por una mente matemática, como por ejemplo los números irracionales. «Dudaba de la existencia de los decimales infinitos y de todo cálculo o demostración que implicara un número infinito de pasos. Solamente lo finito, los números naturales y lo que de ellos se deducía por procesos finitos, era legítimo», afirma Navarro. Cantor, con sus análisis sobre el infinito, se erigía aun sin pretenderlo en su principal oponente. Si la matemática tenía que fundarse en los números enteros y en sus combinaciones finitas, difícil encaje tendrían conjuntos de infinitos elementos.