La teoría de conjuntos es un buen modo de plasmar el debate sobre la pertinencia o no, o la necesidad o no, de formalizar un sistema que intuitivamente parece funcionar bien. Por ejemplo, es difícil dudar del carácter intuitivo de los conceptos de los números naturales, así como de las operaciones básicas de la suma y la multiplicación; se trataría de conceptos irreductibles a otros, y que servirían de base para cualquier otra construcción matemática. De ellos, quizá el producto sea el menos intuitivo. Como dice Raguní, probablemente el concepto de unidad y número natural sea el más básico en este ámbito, la unidad básica del discurso matemático; y, junto a él, la suma parece también un concepto espontáneo; el más complicado, el producto, aunque si bien puede no ser tan intuitivo como los otros, si se le considera como una suma iterada n-veces, donde n es un número natural, se resuelve el entuerto. Lo que llama la atención, y hace peligrar ese carácter intuitivo por sospechoso es cómo, partiendo de esos ladrillos tan intuitivos, se pueden plantear problemas que han atormentado a matemáticos durante largas épocas. ¿Qué es lo que ha ocurrido aquí? La teoría de números ha generado una cantidad de problemas realmente sorprendente, en absoluto todos resueltos.
Para analizarlo, detengámonos en la que quizá sea la formalización más sencilla de un sistema aritmético, la correspondiente a la sucesión de los números naturales, del conjunto que conocemos como N. Nos fijáremos en el trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), quien se apoyó en la función ‘sucesión’, o ‘número que sigue a’. Son unos axiomas sencillos, que lo que tratan de realizar es definir axiomáticamente ese concepto intuitivo que todos tenemos de ‘número’, tal y como ocurre cuando comenzamos a contar algo: tenemos 5 libros, 1 vehículo, etc. En cosas que nos son tan familiares, como los propios números naturales, nos genera violencia reparar en toda la dinámica interna que les subyace: sencillamente, los utilizamos. Y, lo que trató de hacer Peano es, precisamente, intentar sacar a la luz esa dinámica interna con la esperanza de que, tras la formalización, el trato que se obtendría de N sería mucho más riguroso para usos matemáticos más desarrollados. El asunto es que, desde un enfoque cotidiano de los números naturales, que es con el que los solemos emplear habitualmente, no se puede llegar a una comprensión de sus fundamentos matemáticos.
Lo que hizo Peano fue, intentar tomar cierta distancia ante ellos, y observar algunos rasgos, los cuales a todos nos serán seguramente familiares, pero que hay que caer en la cuentas. Cada uno de estos rasgos los convertirá posteriormente en un axioma. El trabajo fue publicado en 1889 en un artículo titulado “Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética”.
El primero de ellos tiene que ver con el hecho de que, efectivamente, somos capaces de contar el número de cosas que tenemos, que vemos, pero también nos hacemos eco de que, en ocasiones, no tenemos ―por ejemplo― ninguna cosa en la mano, o no tenemos ningún bolígrafo, etc. Ello nos lleva a considerar un número natural diverso al 1, al 2, al 53, etc., que es el número 0. Y eso es lo que hace en el primer axioma, postular que el 0 también es natural.
El segundo rasgo tiene que ver con el hecho de que nos damos cuenta de que a cualquier número natural podemos llegar sucesivamente desde los anteriores, lo cual es lo mismo que decir que todo número natural tiene un sucesor: notamos con facilidad que a cualquier número natural podemos llegar partiendo del anterior, y a éste partiendo de su anterior, etc. Este rasgo, que todo número natural tiene un sucesor, viene a ser el segundo axioma. Pero ojo, el axioma dice que todo número natural tiene un sucesor, pero no un antecesor, pues esto no se cumple en el caso del número 0, que no tiene antecesor.
También nos damos cuenta de que, en esta sucesión, nunca pasamos dos veces por el mismo número: una vez hemos pasado por él contando, pues ya se queda atrás, y nunca vuelve. Esto tiene que ver con la propiedad inyectiva de la función ‘sucesión’, que viene a decir que dos números distintos tienen siempre sendos sucesores también distintos; o al revés: si dos números tienen el mismo sucesor, ello implica que esos dos números son el mismo en el fondo.
El último rasgo tiene que ver con el hecho de que, si bien los números naturales tienen un inicio que, atendiendo al primer axioma es el 0, no se sabe cuál puede ser su fin, siempre podemos seguir añadiendo sucesores a sucesores de modo que, en este sentido, no existe un límite, sino que siempre podemos avanzar en los números naturales, empleando para ello todo el tiempo de que dispongamos.
Esquemáticamente, los axiomas son los siguientes:
- El 0 es un número natural.
- Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
- Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
- Todos los sucesores de un número natural son también números naturales.
De esta manera, se dieron los primeros pasos para manejar de un modo más riguroso, lógico, formal, algo que hasta la fecha se había manejado, a pesar de todo el rigor en el estudio y análisis de todas las posibilidades de los números, en un marco intuitivo.
