Hay un asunto que me parece pertinente destacar, como es que los lenguajes lógicos, tan queridos por los autores que tienden a esta tendencia formalizadora o axiomatizadora, o logificadora, también tienen sus limitaciones, de las que hay que saber hacerse eco para no dar pasos en falso.
Sabido es que tanto en ámbitos matemáticos, como también lingüísticos, ha sido común, sobre todo desde finales del siglo XIX hasta las primeras décadas del XX, tratar de enmarcar las respectivas proposiciones matemáticas o lingüísticas en un marco formal, con la finalidad de darles un mayor rigor. Pero, como decía en
este post, lo cierto es que, a pesar de todas las bondades que tenga la axiomatización de un sistema, que las tiene, no todo son ventajas, dado que es fácil que surjan problemas que haga que las cosas no sean tan bonitas como se presumía. Estos problemas tienen que ver con el hecho de que no siempre es fácil establecer un correlato entre ambos sistemas, es decir, entre el sistema lógico y el lingüístico (o el matemático). Pero también con el hecho de que, incluso en el seno del propio sistema axiomatizado, el significado de sus teoremas puede muy bien dar lugar a inconsistencias. Vaya por delante que estos posts (dos o tres) en los que voy a hablar de esto son un poco complejos, pero para quien esté familiarizado con estos asuntos, o tenga inquietud por ellos, pueden ser interesantes (a mi modo de ver, claro).
Para hacernos eco de ello, partamos de un sistema lógico que nos puede ser más familiar a todos, como es el de la lógica clásica. Seguramente sea la lógica que nos venga a la cabeza de modo más espontáneo, y la que nos sea más asequible. Es aquella en la que se dan silogismos del tipo ‘Todos los hombres andan’, ‘Sócrates es un hombre’, luego ‘Sócrates anda’. En ella, como en cualquier otra lógica, hay que distinguir dos planos: el suyo propio (el de su sintaxis como tal) y el de su uso en tanto que formalizadora de otro lenguaje (ya sea matemático, o cualquier idioma hablado, etc.). Y, como decía, tanto en un plano como en el otro, se pueden dar problemas. Quizá sean más llamativos los segundos, en el sentido de que, si bien se utiliza la lógica para logificar un lenguaje (menos logificado, se entiende), el caso es que su relación con éste es compleja, todo lo que tiene que ver con el problema de su semántica. Como dice Raguní, los teoremas lógicamente impecables pueden llevar aparejados problemas semánticos, afirmación que me parece interesantísima. Este análisis nos llevará al primero de los dos problemas que comentaba, lo que nos llevará a su vez para comprender mejor el importante problema de la consistencia lógica.
Empecemos —pues— por el segundo. Trataré de hacer ver que, en ocasiones, es complicado mantener las significaciones del lenguaje habitual en el seno del lenguaje lógico, lo que nos puede llevar a ciertas confusiones. Para explicarlo, vamos a apoyarnos en una sencilla expresión formal que creo que todos conocemos, y en dos proposiciones cualesquiera. La expresión lógica es ‘p→q’; es decir, ‘si p entonces q’, o ‘p implica q’, la cual establece una conexión causal entre las dos proposiciones, de modo que si se ha cumplido la segunda es gracias, en principio, a que la primera también se ha cumplido. Las dos proposiciones pueden ser ‘hay gatos’ (A) y ‘no hay ratones’ (B), que las combinamos así en C: ‘Si hay gatos (A), no hay ratones (B)’. De esta manera, se entiende que cuando no haya ratones ello será gracias a la presencia de gatos, estrategia empleada antiguamente, por ejemplo, para guardar los libros en los monasterios medievales.
Vamos a analizar qué ocurre con la proposición C. ¿Cuándo será verdadera la proposición C? Para ello estableceremos su tabla de verdad desde el sentido común (y acto seguido la compararemos con la establecida desde la lógica). La tabla de verdad de un operador lógico no es otra cosa que averiguar su verdad o falsedad en función de la verdad o falsedad de las premisas mentadas. Imaginemos que somos el bibliotecario del monasterio, y vemos un día ratones comiéndose las hojas de los libros; se nos ocurre traer a algunos gatos, y los ratones desaparecen. Parece razonable pensar que han sido los gatos los responsables de la desaparición de los ratones; igual podrían haber desaparecido por cualquier otro motivo, como una enfermedad, pero daremos por bueno que ha sido por los gatos. En este caso, es verdad que hay gatos, y también es verdad que no hay ratones, lo que nos lleva a afirmar que la proposición ‘si hay gatos, no hay ratones’ es también verdadera.
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A
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B
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A→B (desde el
sentido común)
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V
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V
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V
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También podría ocurrir que, tras traer los gatos, siguiera habiendo ratones. Entonces, sería verdad que hay gatos, pero no lo sería que no hay ratones, pues sí que los hay. Esto nos lleva a que la proposición ‘si hay gatos, no hay ratones’ no se cumple, es falsa. En lógica clásica, esta posibilidad se conoce como el caso de la promesa rota, pues nuestras expectativas se han truncado.
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A
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B
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A→B (desde el
sentido común)
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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Para completar la tabla, habría que ver los dos casos en que la primera premisa es falsa, es decir, que no hay gatos. Si no hay gatos, con los ratones caben las dos posibilidades: que no haya (con lo que es verdadera) o que sí que haya (con lo que es falsa). ¿Qué ocurre entonces con C? Si lo pensamos, esto para nosotros no tiene mucho sentido. Si es falso que hay gatos, es decir, si no los hay porque no los hemos traído, no tiene sentido plantearnos la verdad o la falsedad de C, porque que no haya ratones o que sí que los haya, es algo que poco tiene que ver con los gatos, ya que no hay. La proposición C, pues, no sería ni verdadera ni falsa, a mi modo de ver. La tabla de verdad quedaría entonces así:
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A
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B
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A→B (desde el
sentido común)
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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¿?
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F
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F
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¿?
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El problema viene cuando traemos a colación la tabla de verdad que, desde la lógica, se le da a este operador, que es la siguiente:
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A
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B
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A→B (desde la lógica)
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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V
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Nos damos cuenta de que, en los dos casos en que la primera proposición es falsa, C es en ambos casos verdadera. Es decir, independientemente de que no haya o sí que haya ratones, si no hay gatos C siempre es verdadera. ¿Por qué? Desde una perspectiva lógica, que ya no es la del sentido común, en estas dos posibilidades C siempre es verdadera porque, en definitiva, nos da igual lo que ocurra con B, dado que A nunca se va a cumplir. Como la condición no se cumple (pues es falsa), el valor de verdad de la implicación siempre es verdadera, pues al no existir condición inicial, no puede no cumplirse.
Esto último es algo que desde el sentido común nos cuesta asumir. Seguramente pensemos que, no habiendo gatos, no tiene sentido afirmar como verdadera la proposición C; es decir: si A es falsa, semánticamente las dos últimas posibilidades no tienen ningún sentido, pues si no hay gatos, ¿qué finalidad tiene el enunciarla? Si no hay gatos, la presencia o no de ratones podrá ser real, pero no nos dice nada de su vínculo con la presencia de los gatos, que es lo que nos interesa. ¿Qué sentido tiene asignarles un valor de verdad a estos dos casos? Como dice Raguní en Confines lógicos de la matemática, «asignar necesariamente un valor de verdad a los dos casos restantes [estos dos últimos casos] es, por lo tanto, indudablemente forzado, pero es lo que se debe hacer en Lógica clásica por su misma definición». Como se ve, aquí hay una situación en la que lo lógico no acompaña a lo semántico, o viceversa. El caso es que, leído a la luz de su significado habitual, esto pueda dar lugar a confusión, pues nos cuesta comprender que las dos últimas posibilidades sean verdaderas.
En el siguiente post de esta serie veremos distintas posibilidades para tratar de encajar la tabla de verdad lógica a la del sentido común, dando lugar a ciertas paradojas. Todo lo cual nos llevará a la consideración del problema de la inconsistencia de un sistema lógico.
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