Paradojas al tratar de adaptar el significado lógico con el semántico

Veíamos cómo el valor lógico de las proposiciones en las que la primera premisa es falsa siempre es verdadero, algo que iba en contra de nuestro ‘sentido común’. Para comprender bien lo que sigue, aconsejaría refrescar lo que ya vimos en su día. Apliquemos ahora ese sentido común, en virtud del cual las dos últimas proposiciones no tienen sentido que sean verdaderas, sino que parece razonable pensar que son falsas dado que no se han cumplido nuestras expectativas. Si nuestro interés está en ver qué ocurre con los ratones cuando hay gatos, pero resulta que no hay gatos, la proposición C se cae por su propio peso, no tiene sentido: entonces la tomamos como falsa. La cosa quedaría entonces como se observa en la cuarta columna (la tercera es el valor propio de la lógica):

A	B	A→B
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

Si nos damos cuenta, esta cuarta columna es el resultado del operador lógico ‘conjunción’, también representado por ‘y’, o ‘and’. La tabla de verdad de este operador nos dice que es verdadera únicamente aquella posibilidad en la que ambas proposiciones iniciales son verdaderas:

A	B	A→B	AyB
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

En este caso, la proposición ‘si hay gatos, no hay ratones’, sería equivalente a la proposición ‘hay gatos y no hay ratones’, nada que ver con nuestra idea inicial. Nuestro sentido común nos ha jugado una mala pasada.

Pensemos en otra opción. Podría ocurrir que, de las dos últimas posibilidades en las que la proposición A era falsa, sólo fuera falsa una de ellas, siendo la otra verdadera. Por ejemplo, que sea verdadera la tercera, y la cuarta la dejamos como falsa. En este caso, la tabla de verdad quedaría así:

A	B	A→B
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	F

Si nos fijamos, ahora los valores de verdad resultante coinciden con los de B, con lo cual sería el operador identidad:

A	B	A→B	B
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	F

O sea, que, en el fondo, nos daría igual lo que ocurriera con A, pues ocurra lo que ocurra con los gatos todo dependerá de si hay ratones o no. El resultado ya no dependerá de lo que pase con los gatos, la proposición A es ociosa.

Probemos, de las dos posibilidades que nos planteábamos, a permutar la tercera con la cuarta, de modo que la verdadera sea ahora la cuarta, y la tercera falsa:

A	B	A→B
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	V

¿Qué decir, entonces? Esta posibilidad es la propia del operador correspondencia o doble implicación, conocida como ‘si y sólo si’, la cual sólo es verdadera cuando las dos proposiciones se corresponden, es decir, o las dos son verdaderas o las dos son falsas:

A	B	A→B	A↔B
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	V

Esto quiere decir que, o bien que hay ratones si y solo si no hay gatos, o bien que no hay ratones si y solo si hay gatos, es decir, que si no hay ratones necesariamente debe haber gatos, como si no hubiera otros modos de acabar con los ratones (como los raticidas) o que, sencillamente, se han ido a otro lado, o han muerto de modo natural. De nuevo, nada que ver con nuestro problema.

Conclusión: en ocasiones, el discurso del sentido común no es fácil de adaptar al discurso lógico, siendo fácil caer en alguna confusión. Y todo esto, ¿para qué? Pues nos va a ayudar a situar la consistencia o inconsistencia de un sistema axiomático, que veremos en el siguiente post.